遵义师范学院中期选拔
高等代数考试大纲
一、一 元 多 项 式
（一）考试内容：
1.数环和数域。
2.多项式的概念及运算（一元多项式的定义，数域P上的多项式相等，多项式的加法、减法、乘法及其运算律）。
3.多项式的整除（带余除法，整除的概念及其基本性质）。
4.多项式的最大公因式（基本概念：公因式、最大公因式、互素。最大公因式的求法，最大公因式的性质、两个多项式互素的充要条件）。
5.多项式的因式分解定理（不可约多项式的概念和性质，因式分解及唯一性定理标准分解式）。
6.重因式（重因式的概念及其性质，多项式有无重因式的判别法）。
7.多项式函数（余数定理，多项式的根，重根，根的个数定理）。
8.复系数与实系数多项式的因式分解（代数基本定理，复系数多项式因式分解定理，复系数多项式标准分解式）。
9.有理系数多项式（有理系数多项式与整系数多项式的关系、整系数多项式有理根的求法）。
（二）考试要求：
1. 理解数域P上一元多项式的概念，掌握其运算及带余除法。
2. 熟记整除的定义及充要条件，掌握整除的性质。
3. 理解最大公因式的概念、性质及多项式互素的概念和性质，并能熟练地求出两个多项式的最大公因式。
4. 理解不可约多项式的概念及其性质，以及其他多项式的关系。
5. 理解重因式的概念，掌握用导数判别多项式有无重因式的方法。
6. 理解多项式根的概念和性质，掌握其判别方法。
7. 了解代数基本定理，理解复系数多项式因式分解定理，掌握实系数多项式的非实复根共轭成对，实系数多项式因式分解定理。
8. 了解艾森斯坦因判别法，理解有理根判别的原理，掌握整系数多项式的有理根的求法。
二、行列式
（一）考试内容：
1.排列
2.n阶行列式的定义。
3.行列式的基本性质。
4.行列式的计算。
5.克兰姆法则
（二）考试要求：
1. 了解排列(置换)的概念及基本性质，理解行列式的定义，
2. 理解行列式的性质（包括按一行一列展开定理），并能熟练地应用这些性质。
3. 掌握行列式计算的基本方法和技巧，能灵活地应用它们计算较简单的n阶行列式。
4. 掌握克兰姆法则解线性方程组的方法以及应用范围。
三、线性方程租
（一）考试内容：
1. 线性方程组的初等变换与矩阵的初等变换。
2. n维向量。
3. 矩阵的秩与线性方程组有解判别定理。
4. 线性方程组解的结构。
（二）考试要求：
1. 掌握矩阵的初等变换和利用矩阵解线性方程组的原理与方法。
2. 理解n维向量的有关概念
3. 理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、向量的等价、极大线性无关组、向量的秩等概念及性质，能判别向量组线性相关或线性无关，掌握求向量组的极大线性无关组、向量的秩、矩阵秩的求法。
4. 理解齐次线性方程组解之间的关系，掌握其结构，会求基础解系。
5. 理解非齐次线性方程组的解与其对应的齐次线性方程组解的关系非齐次线性方程组解的结构。
四、矩阵的运算
（一）本章主要教学内容：
1. 矩阵的加法、数乘、矩阵的乘法运算及运算规律。
2. 逆矩阵（逆矩阵的定义和性质、可逆的条件、求逆矩阵的方法、）。
3. 矩阵的分块
（二）考试要求：
1. 掌握矩阵加法、数乘和乘法运算及其规律，并能熟练地进行运算。
2. 理解逆矩阵的概念及矩阵可逆的条件。
3. 掌握初等矩阵与矩阵的初等变换的关系。
4. 掌握逆矩阵的求法，会解矩阵方程。
5. 了解矩阵的分块的原则。
五、 线性空间
（一）考试内容：
1. 线性空间及其同构（ 线性空间的定义及其简单性质，线性空间同构）。
2. 基、维数、坐标（向量的线性组合，向量组等价，向量组向性相关、线性无关，线性空间的维数、基，向量的坐标）基变换与坐标变换（过渡矩阵及其求法，坐标变换）。
3. 子空间的交、和与直和（子空间的定义及其判别方法，生成子空间，交、和与直和，维数公式，子空间的分解）。
（二）考试要求：
1. 理解线性空间的概念。
2. 深刻理解线性空间的维数、基与向量坐标的意义。
3. 掌握过渡矩阵的求法，能熟练地运用基变换与坐标变换公式。
4. 正确理解子空间及其交与和等概念、意义。
六、 线性变换
（一）考试内容：
1. 线性变换的定义及其运算（定义、简单性质，运算、运算律、线性变换的值域与核）。
2. 线性变换的矩阵（线性变换与矩阵关系，矩阵相似的概念及其性质）。
3. 特征值与特征向量（线性变换的特征值与特征向量，矩阵的特征多项式、特征根与特征向量）。
4. 可对角化的线性变换（线性变换可对角化的条件、矩阵与对角形相似的条件）。
（二）考试要求：
1. 理解线性变换的概念，掌握其运算及基本性质。
2. 理解线性变换矩阵表示的意义掌握其表示方法。
3. 理解线性变换的特征值与特征向量的概念，掌握其计算方法。
4. 掌握线性变换可对角化的条件，选择适当的基，使线性变换关于这个基的矩阵为对角形。
5.了解线性变换的值域与核。
七、 欧世空间
（一）考试内容：
1. 内积，欧氏空间，向量的长度、夹角、距离，度量矩阵的定义及其性质。
2. 标准正交基（正交向量组，正交基，标准正交基，施密特正交化方法，正交矩阵及其性质）。
3.正交变换（正交变换的定义、性质）。
4.对称变换与对称矩阵（对称变换，对称变换关于标准正交基的矩阵，实对称矩阵性质，实对称矩阵的标准形）。
（二）考试要求：
1. 理解内积、欧氏空间的概念，掌握欧氏空间中向量的长度、夹角、距离等定义及其性质。
2. 理解标准正交基、正交矩阵的定义，掌握它们的性质和应用，会根据已知基求标准正交基。
3. 理解正交变换、对称变换的定义和性质。对实对称矩阵A，能求出正交矩阵T，使 为对角形。
4. 了解有限维欧氏空间同构的条件。
八、 二次型
（一）考试内容：
1. 二次型的矩阵表示（二次型的定义、矩阵表示，非退化线性替换，矩阵合同的定义及性质，二次型等价与矩阵合同的关系）。
2. 标准型（二次型可经非退化线性替换化成平方和的形式，二次型的标准形定义及其求法，复二次型的规范形，实二次型的规范形、惯性定理）。
3. 正定二次型的定义及判别条件。
（二）考试要求：
1. 掌握二次型的矩阵表示，理解矩阵合同的概念和性质。
2. 掌握化二次型为平方和的方法，并能熟练地运算。
3. 理解复二次型和实二次型的规范形及实二次的正惯性指数、符号差等概念，了解实二次型的分类。
4. 理解正定二次型、正定矩阵的定义及性质。
参考书目：
1.张禾瑞，郝炳新，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，2005；
2北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，2001。
