（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；
（3）在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？
解：（1）设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ．……………1分
，顶点 ……………2分
(2)G(4,8), G(8,8), G(4,4) ……………3分
（3）假设满足条件的点 存在，依题意设 ，
由 求得直线 的解析式为 …………1分
它与 轴的夹角为 ，设 的中垂线交 于 ，则 ．
则 ，点 到 的距离为 ．
又 ． ．
平方并整理得： ， ．……………1分
存在满足条件的点 ， 的坐标为 ．……………1分
（4）由上求得 ．
抛物线向上平移，可设解析式为 ．
当 时， ．
当 时， ． 或 ．……………1分
．
∴向上最多可平移72个单位长。……………2分
8、如图1，在 中， ， ， ，另有一等腰梯形 （ ）的底边 与 重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
（1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；
（2）操作：固定 ，将等腰梯形 以每秒1个单位的速度沿 方向向右运动，直到点 与点 重合时停止．设运动时间为 秒，运动后的等腰梯形为 （如图2）．
①探究1：在运动过程中，四边形 能否是菱形？若能，请求出此时 的值；若不能，请说明理由．
②探究2：设在运动过程中 与等腰梯形 重叠部分的面积为 ，求 与 的函数关系式．
解：（1）△AGF与△ABC的面积比是1：４． （3分）
（2）①能为菱形． （1分）
由于FC∥ ，CE∥ ，
四边形 是平行四边形． （1分）
当 时，四边形 为菱形，( 1分)
此时可求得 ．
当 秒时，四边形 为 (1分)
②分两种情况：
①当 时，
如图3过点 作 于 ．
， ， ， 为 中点，
．
又 分别为 的中点，
． ( 1分)
等腰梯形 的面积为6．
， ．
重叠部分的面积为： ． ( 1分)
当 时， 与 的函数关系式为 ． ( 1分)
②当 时，
设 与 交于点 ，则 ． ， ，
作 于 ，则． ( 1分)
重叠部分的面积为：
．
综上，当 时， 与 的函数关系式为 ；当 时， ( 1分)
9、如图，抛物线 （a 0）与反比例函数 的图像相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B（t，q）在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求反比例函数的解析式
（2）用含t的代数式表示直线AB的解析式；
（3）求抛物线的解析式；
（4）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，把△AOB绕点O逆时针旋转90º，请在图②中画出旋转后的三角形，并直接写出所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
解：（1）因为点A（1，4）在双曲线 上，
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为 . ……………………………………… 1分
（2）设点B（t， ）， ，AB所在直线的函数表达式为 ，则有
解得 ， .
直线AB的解析式为y= - 4 tx+4(t+1) t ………………………………………… 3分
（3）直线AB与y轴的交点坐标为 ，故
，整理得 ，
解得 ，或t＝ （舍去）．所以点B的坐标为（ ， ）．
因为点A，B都在抛物线 （a 0）上，所以 解得
所以抛物线的解析式为y=x2+3x ……………… 4分
（4）画出图形………………………………………………2分
点 的坐标是（8， ），或（2， ）……………… 2分
10、已知如图，矩形OABC的长OA= ，宽OC=1，
将△AOC沿AC翻折得△APC.
（1）求∠PCB的度数；
（2）若P，A两点在抛物线y=－ x2+bx+c上，求b，c的值，并 说明点C在此抛物线上；
（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交 于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标.
解：(1)∠PCB=30° ……3分
(2) ……6分
点C（0，1）满足上述函数关系式，所以点C在抛物线上. ……7分
（3）Ⅰ、若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，
∴过点D作DM∥ CE交x轴于M,则四边形EMDC为平行四边形，
把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（ ，1）
把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（ ，0）
∴M( ,0);N点即为C点，坐标是(0,1); ……9分
Ⅱ、若DE是平行四边形的边，
则DE=2,∠DEF=30°,
过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，
∴M( ,0),N(0,-1); ……11分
同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，
∴M( ,0),N(0, 1). ……12分
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