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成人高考专升本高等数学考前模拟真题和答案
来源:3773.com.cn 2010-10-13 【字体:小 大】
成人高考专升本高等数学考前模拟真题和答案

一. 选择题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内。
  *1. 设函数 , 是 的反函数,则(    )
    A.      B. 
    C.      D. 
    令
     ,反函数为 ,选B
  *2. 若 是 的极值点,则(    )
    A.  必定存在,且
    B.  必定存在,但 不一定等于零
    C.  可能不存在
    D.  必定不存在
    应选C。例: 在 处取得极小值,但该函数在 处不可导,而 不存在
  *3. 设有直线 ,则该直线必定(    )
    A. 过原点且垂直于x轴
    B. 过原点且平行于x轴
    C. 不过原点,但垂直于x轴
    D. 不过原点,且不平行于x轴
    直线显然过(0,0,0)点,方向向量为 , 轴的正向方向向量为 , ,故直线与x轴垂直,故应选A。
  *4. 幂级数 在点 处收敛,则级数 (    )
    A. 绝对收敛    B. 条件收敛    C. 发散    D. 收敛性与 有关
     在点 处收敛,推得对 , 绝对收敛,特别对 有 绝对收敛,故应选A。
  5. 对微分方程 ,利用待定系数法求其特解 时,下面特解设法正确的是(    )
    A.      B.      C.      D. 

二. 填空题:本大题共10个小题,10个空,每空4分,共40分,把答案填在题中横线上。
  *6.  _________________.
    
  7. 设 ,则 _________________.
  *8. 设 ,则 _________________.
    解:
    
  *9.  _________________.
    解
     
  10. 设 ,则 _________________.
  *11. 已知 ,则过点 且同时平行于向量 和 的平面的方程为_________________.
    面的法向量为
    平面的方程为 即
  12. 微分方程 的通解是_________________.
  *13. 幂级数 的收敛区间是_________________.
    解:令 ,
    
    由 解得, ,于是收敛区间是
  14. 设 ,则与 同方向的单位向量 _________________.
  *15. 交换二次积分 的次序得 _________________.
    解:积分区域如图所示:D: ,于是
    
 

三. 解答题:本大题共13个小题,共90分,第16题~第25题每小题6分,第26题~第28题每小题10分,解答时应写出推理,演算步骤。
  *16. 计算
    解:
       
       
        
  *17. 设 ,求
    解:
     
  18. 判定函数 的单调区间
  19. 求由方程 所确定的隐函数 的微分
  *20. 设函数 ,求
    解:设 ,则 ,两边求定积分得
    
                 
    解得: ,于是
    
  21. 判定级数 的收敛性,若其收敛,指出是绝对收敛,还是条件收敛?
  22. 设 ,求
  23. 求微分方程 的通解
  *24. 将函数 展开为麦克劳林级数
    解:
                ( )
    
      
    即  
  25. 设 ,求
  26. 求函数 在条件 之下的最值。
  *27. 求曲线 的渐近线
    解:(1)
     曲线没有水平渐近线
    (2) ,曲线有铅直渐近线
    (3)
    
    
    所以曲线有斜渐近线
    
  *28. 设区域为D: ,计算
    解:积分区域如图所示(阴影部分)
    
    
    
 

 
【试题答案】
一.
  1. 令
     ,反函数为 ,选B
  2. 应选C。例: 在 处取得极小值,但该函数在 处不可导,而 不存在
  3. 直线显然过(0,0,0)点,方向向量为 , 轴的正向方向向量为 , ,故直线与x轴垂直,故应选A。
  4.  在点 处收敛,推得对 , 绝对收敛,特别对 有 绝对收敛,故应选A。
  5.  特征根为 ,由此可见 ( )是特征根,于是可设 ,应选C。
二.
  6. 
  7. 
  8. 解:
    
  9. 解
     
  10. 
     
    ( )
  11. 平面的法向量为
    平面的方程为 即
  12. 解:
    通解为
            
            
            
            
  13. 解:令 ,
    
    由 解得, ,于是收敛区间是
  14.  ,
  15. 解:积分区域如图所示:D: ,于是
    
 
三.
  16. 解:
       
       
        
  17. 解:
     
  18. 解:
           
    当 时, ,函数单调增加;当 或 时, ,函数单调减少,故函数的单调递减区间为 ,单调递增区间为
  19. 解:方程两边对 求导(注意 是 的函数):
    
    解得  
      
  20. 解:设 ,则 ,两边求定积分得
    
                 
    解得: ,于是
    
  21. 解:(1)先判别级数 的收敛性
    令
     发散
     发散
    (2)由于所给级数是交错级数且
     <1>
    <2>
    由莱布尼兹判别法知,原级数收敛,且是条件收敛。
  22. 解:
      
    
  23. 先求方程 的通解:
    特征方程为   ,特征根为 , ,于是齐次方程通解为
     ……(1)
    方程中的 ,其中 不是特征根,可令
    
    则 ,
    代入原方程并整理得
      ,
     
     ……(2)
    所求通解为 
  24. 解:
                ( )
    
      
    即  
  25. 解:因 由 得
     ,从而
  26. 解:把条件极值问题转化为一元函数的最值
    
    当 时,函数取到最大值
    当 时,函数取到最小值0
  27. 解:(1)
     曲线没有水平渐近线
    (2) ,曲线有铅直渐近线
    (3)
    
    
    所以曲线有斜渐近线
    
  28. 解:积分区域如图所示(阴影部分)
    
    
    
 

 


 

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