天津市第四十二中学 张鼎言
6. 已知函数f(x)=--sin2x+sinxcosx
(Ⅰ)求f(-)的值；
(Ⅱ)设α∈(0，π)，f(-)=---，sinα的值。
解：(Ⅰ)化简f(x)，f(x)=-cos2x+-sin2x--
=sin(2x+-)--
f(-)=sin---=0
解：(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--
=---，
∴sin(α+-)=-
-sinα+-cosα=-
sinα+-cosα=-
-cosα=--sinα
两边平方整理关于sinα的二次方程：
16sin2α-4sinα-11=0
∵α∈(0，π)
∴sinα=-
注：在三角函数的求值、化简及研究三角函数的性质中，公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ)，tanφ=-ba，起着重要的作用。
(二)三角函数的图象与性质
复习导引：这一部分是高考的重点内容。三角函数的研究内容与方法既具有一般函数性质，又有其特殊的性质，周期性突显出来，如第3、9题，从图象角度审视，轴对称、中心对称、成为拟题的载体，如第4、5、6、11题。
1. 设函数f(x) =-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω>0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为-。
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)如果f(x)在区间[--，-]上的最小值为-，求α的值。
解：(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωx·cosωx+α
=--+-sin2ωx+α
=-sin2ωx+-cos2ωx+α+-
=sin(2ωx+-)+α+-
2ω·■+-=-，ω=-
(Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+-
--≤x≤-
0≤x+-≤-
fmin(x)=f(-)=--+α+-=-
∴α=-+-
2. 如图，函数y=2sin(πx+φ)，(x∈R)，(其中0≤φ≤-)的图象与y轴交于点(0，1)。
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设p是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求-与-的夹角。
解：(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1，sinφ=-
0≤φ≤- ∴φ=-
(Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)
∵P为最高点
∴πx+-=-，x=-，Q(-，0)
f(x)周期T=-=2，-=1，|MN|=1，|NQ|=-，|PQ|=2，tanα=-
cos2α=-=-
∴-与-的夹角是arccos-
3. 已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)，(A>0，ω>0，0<φ<-)，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点(1，2)。
(1)求φ；
(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2008)。
解：(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ)
fmax(x)=--(--)=2 ∴A=2
由已知，T=4=-，ω=-
f(x)=1-cos(-x+2φ)
f(1)=1-cos(-+2φ)=2
∴sin2φ=1 0<φ<-
∴φ=-
∴f(x)=sin(-x)+1
(Ⅱ)f(1)=sin-+1=2
f(2)=sinπ+1=1
f(3)=sin-+1=0
f(4)=sin2π+1=1
又f(n)是以4为周期的函数
-=502
∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=502×4=2008
4. 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=-。
(Ⅰ)求φ；
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间；
(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切。
解：(Ⅰ)∵x=-为f(x)对称轴，
∴sin(2×■+φ)=±1.
∴sin(-+φ)=±1，-π<φ<0
∴-+φ=--，φ=--
∴f(x)=sin(2x--)
解：(Ⅱ)f(x)的单调递增区间
2kπ--≤2x--≤2kπ+-，k∈Z
kπ+-≤x≤kπ+-，k∈Z
证明：(Ⅲ)5x-2y+c=0，斜率k=-
f(x)=sin(2x--)
k'=f'(x)=2cos(2x--)
|k'|≤2
∵k≠|k'| ∴不能相切
注：本题阐述了三角函数图象轴对称求解析式的方法。
