数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，“数”与“形”相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合来寻找解题思路，使问题得到解决.要运用这一数学思想，必须熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 .
●难点磁场
1.曲线ｙ=1+ (－2≤ｘ≤2)与直线ｙ=ｒ(ｘ－2)+4有两个交点时，实数ｒ的取值范围为 .
2.设ｆ (ｘ)=ｘ2－2ａｘ+2，当ｘ∈［－1,+∞)时，ｆ(ｘ)＞ａ恒成立，求ａ的取值范围 .
●案例探究
［例1］设Ａ＝{ｘ|－２≤ｘ≤ａ}，Ｂ＝{ｙ|ｙ＝２ｘ＋３，且ｘ∈Ａ}，Ｃ＝{ｚ｜ｚ＝ｘ２，且ｘ∈Ａ?妖，若Ｃ Ｂ，求实数ａ的取值范围．
命题意图：本题借助数形结合，考查集合关系的运算，属★★★★级题目．
知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合Ｃ进而将Ｃ Ｂ用不等式加以转化 .
错解分析：考生在确定ｚ＝ｘ２，ｘ∈［－２，ａ］的值域时易出错，不能分类而论 . 巧妙观察图象将是上策，不能漏掉ａ＜－2这一种特殊情形 .
技巧与方法：解答集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决 .
解：∵ｙ＝２ｘ＋３在［－２，ａ］上是增函数，
∴－1≤ｙ≤2ａ＋3，即Ｂ＝{ｙ｜－1≤ｙ≤2ａ＋3} .
作出ｚ＝ｘ２的图象，该函数定义域右端点ｘ＝ａ有三种不同的位置情况如下：
①当－２≤ａ≤０时，ａ２≤ｚ≤４即Ｃ＝{ｚ｜ａ２≤ｚ≤4}时，要使Ｃ Ｂ，必须且只需２ａ＋３≥４，得ａ≥与－２≤ａ＜０矛盾 .
②当0≤ａ≤２时，0≤ｚ≤４即Ｃ＝{ｚ｜0≤ｚ≤４?妖，要使Ｃ Ｂ，必须且只需解得≤ａ≤２ ．
③当ａ＞２ 时，０≤ｚ≤ａ２，即Ｃ＝{ｚ｜０≤ｚ≤ａ２?妖，要使Ｃ Ｂ必须且只需解得２＜ａ≤３ ．
④当ａ＜－２时，Ａ＝ 此时Ｂ＝Ｃ＝ ，则Ｃ Ｂ成立 ．
综上所述，ａ的取值范围是?穴－∞，－２?雪∪［，３］．
［例2］已知ａcosα＋ｂsinα＝ｃ，ａcosβ＋ｂsinβ＝ｃ?穴ａｂ≠0，α－β≠ｋπ，ｋ∈Ｚ )．求证：cos２＝．
命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力，属★★★★★级题目．
知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程。进而由Ａ、Ｂ两点坐标特点知其在单位圆上 ．
错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一． 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二．
技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题 ．
证明：在平面直角坐标系中，点Ａ（cosα，sinα）与点Ｂ（cosβ，sinβ）是直线ｌ：ａｘ＋ｂｙ＝ｃ与单位圆ｘ２＋ｙ２＝１的两个交点，如图 ．
从而：｜ＡＢ｜２＝ (cosα－ｃｏｓβ)２＋?穴sinα－sinβ)２＝ ２－２cos(α－β) ．
又因单位圆的圆心到直线ｌ的距离ｄ＝．
由平面几何知识知｜ＯＡ｜２－(｜ＡＢ｜)２＝ｄ２即
１－＝ｄ ２＝ ．
∴ cos2＝ ．
●锦囊妙计
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：
（１）集合的运算及韦恩图 ．
（２）函数及其图象 ．
（３）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 ．
（４）方程（多指二元方程）及方程的曲线．
以形助数常用的方法有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法 ．
以数助形常用的方法有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合 ．
●歼灭难点训练
一、选择题
１．（★★★★）方程sin(ｘ–)＝ｘ实数解的个数是?穴 ?雪
A． ２ B． ３ C． ４ D．以上均不对
２．（★★★★★）已知ｆ (ｘ)＝(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)－２（其中ａ＜ｂ），且α、β是方程ｆ (ｘ)＝０的两根（α＜β），则实数ａ、ｂ、α、β的大小关系为?穴 ?雪
A．α＜ａ＜ｂ＜β B．α＜ａ＜β＜ｂ
C． ａ＜α＜ｂ＜β D． ａ＜α＜β＜ｂ
二、填空题
３．（★★★★★）(4cosθ＋３－２ｔ)２＋(３sinθ－１＋２ｔ)２?穴θ、ｔ为参数?雪的最大值是 ．
４．（★★★★★）已知集合Ａ＝{ｘ｜５－ｘ≥}，Ｂ＝{ｘ｜ｘ２－ａｘ≤ｘ－ａ}，当Ａ∩Ｂ时，则ａ的取值范围是 ．
三、解答题
５．（★★★★）设关于ｘ的方程 sinｘ＋cosｘ＋ａ＝０在（０?熏π）内有相异解α、β．
（１）求ａ的取值范围；
（２）求tan?穴α＋β?雪的值 ．
６．（★★★★）设Ａ＝{?穴ｘ，ｙ?雪｜ｙ＝，ａ＞0}，Ｂ＝{?穴ｘ，ｙ?雪|(ｘ－１)２＋(ｙ－３)２＝ａ２，ａ＞０}，且Ａ∩Ｂ≠，求ａ的最大值与最小值 ．
７．（★★★★）已知Ａ（１，１）为椭圆＋＝１内一点，Ｆ１为椭圆左焦点，Ｐ为椭圆上一动点 ． 求｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜的最大值和最小值 ．
８．（★★★★★）把一个长、宽、高分别为２５ ｃｍ、２０ ｃｍ、５ ｃｍ的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？
（参考答案见５８页）
答案：
●难点磁场
１．解析：方程ｙ＝１＋的曲线为半圆，ｙ＝ｒ(ｘ－２)＋４为过（２，４）的直线 ．
答案：（?熏］
２．解法一：由ｆ(ｘ)＞ａ，在［－１?熏＋∞)上恒成立＜＝＞ｘ２－２ａｘ＋２－ａ＞０在［－１?熏＋∞)上恒成立 ． 考查函数ｇ(ｘ)＝ｘ２－２ａｘ＋２－ａ的图象在［－１?熏＋∞］时位于ｘ轴上方 ． 如图两种情况：
不等式的成立条件是：(1)Δ＝４ａ２－４(２－ａ)＜０＝＞ａ∈(－2，1)；
(2)＝＞ａ∈(－３，－２]，综上所述ａ∈(－３，１) ．
解法二：由ｆ (ｘ)＞ａ＝＞ｘ２＋２＞ａ?穴２ｘ＋１)，令ｙ１＝ｘ２＋２，ｙ２＝ａ(２ｘ＋１)，在同一坐标系中作出两个函数的图象 ． 如图满足条件的直线ｌ位于ｌ１与ｌ２之间，而直线ｌ１、ｌ２对应的ａ值（即直线的斜率）分别为１，－３． 故直线ｌ对应的ａ∈(－３，１) .
●歼灭难点训练
一、１．解析：在同一坐标系内作出ｙ１＝sin(ｘ－)与ｙ２＝ｘ的图象如图 ． 答案：B．
２．解析：ａ，ｂ是方程
ｇ(ｘ)＝(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)＝０的两根，在同一坐标系中作出函数
ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的图象（如右图） ． 答案：Ａ．
二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为Ａ(４cosθ，３sinθ)，Ｂ(２ｔ－３，１－２ｔ) ． Ａ的几何图形是椭圆，Ｂ表示直线 ． 考虑用点到直线的距离公式求解 ． 答案：．
４．解析：解得Ａ＝{ｘ｜ｘ≥９或ｘ≤３}，Ｂ＝{ｘ｜(ｘ－ａ)(ｘ－１)≤０}，画出数轴即得 ． 答案：ａ＞３ ．
三、５．解：①作出ｙ＝sin(ｘ＋)，?眼ｘ∈(０?熏π)]及ｙ＝－的图象，知当｜－｜＜１且－≠时，曲线与直线有两个交点，故ａ∈(－２?熏－)∪(－?熏２) ．
②把sinα＋cosα＝－ａ，sinβ＋cosβ＝－ａ相减得tan＝，故tan(α＋β)＝３ ．
６．解：∵集合Ａ中的元素构成的图形是以原点Ｏ为圆心，ａ为半径的半圆；集合Ｂ中的元素是以点Ｏ′(１?熏)为圆心，ａ为半径的圆 ． 如图所示 ．
∵Ａ∩Ｂ≠ ，∴半圆Ｏ和圆Ｏ′有公共点 ． 显然当半圆Ｏ和圆Ｏ′外切时，ａ最小，ａ＋ａ＝｜ＯＯ′｜＝２，∴ ａmin＝２＋２；当半圆Ｏ与圆Ｏ′内切时，半圆Ｏ的半径最大，即ａ最大 ． 此时ａ－ａ＝｜ＯＯ′｜＝２，∴ａmax＝２＋２ ．
７．解：由可知ａ＝３，ｂ＝，ｃ＝２，左焦点Ｆ１(－２，０)，右焦点Ｆ２(２，０) ． 由椭圆定义，｜ＰＦ１｜＝２ａ－｜ＰＦ２｜＝６－
｜ＰＦ２｜，∴｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜＝６－｜ＰＦ２｜＋
｜ＰＡ｜＝６＋｜ＰＡ｜－｜ＰＦ２｜ 如右图，由｜｜ＰＡ｜－｜ＰＦ２｜｜≤｜ＡＦ２｜＝＝知－≤
｜ＰＡ｜－｜ＰＦ２｜≤ ． 当Ｐ在ＡＦ２延长线上的Ｐ２处时，取右“＝”号；当Ｐ在ＡＦ２的反向延长线的Ｐ１处时，取左“＝”号 ． 即｜ＰＡ｜－｜ＰＦ２｜的最大、最小值分别为，－ ． 于是｜ＰＦ１｜＋｜ＰＡ｜的最大值是６＋，最小值是６－ ．
８．解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值 ． 由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小 ． 如右图：
设ＡＥ＝ｘ，ＢＥ＝ｙ，则有ＡＥ＝ＡＨ＝ＣＦ＝ＣＧ＝ｘ，ＢＥ＝ＢＦ＝ＤＧ＝ＤＨ＝ｙ ．
∴＝＞
∴ ＡＢ＝ｘ＋ｙ＝１０＋＝ ．
