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2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（文史类）
本试卷满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件 互斥，那么
如果事件 相互独立，那么
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率
以 为半径的球体积：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆心在 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
3． 的展开式中 的系数是（ ）
A．20 B．40 C．80 D．160
4．已知向量 若 与 平行，则实数 的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
5．设 是公差不为0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =（ ）
A． B． C． D．
6．下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
8．12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在正四棱柱 中，顶点 到对角线 和到平面 的距离分别为 和 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为
B．若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为
10．把函数 的图像 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得到图像 ．若对任意的 ，曲线 与 至多只有一个交点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．
11．若 是小于9的正整数 ， 是奇数 ， 是3的倍数 ，则 ．
12．记 的反函数为 ，则方程 的解 ．
13．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答）．
14．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 124 121 123 127
则该样本标准差 （克）（用数字作答）．
15．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
设函数 的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期．
（Ⅱ）若函数 的图像是由 的图像向右平移 个单位长度得到，求 的单调增区间．
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（Ⅰ）至少有1株成活的概率；
（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
如题（18）图，在五面体 中， ∥ ， ， ，四边形 为平行四边形， 平面 ， ．求：
（Ⅰ）直线 到平面 的距离；
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值．
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）
已知 为偶函数，曲线 过点 ， ．
（Ⅰ）求曲线 有斜率为0的切线，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若当 时函数 取得极值，确定 的单调区间．
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
已知以原点 为中心的双曲线的一条准线方程为 ，离心率 ．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如题（20）图，点 的坐标为 ， 是圆 上的点，点 在双曲线右支上，求 的最小值，并求此时 点的坐标；
21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）
已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 为数列 的前 项和，求证： ；
（Ⅲ）求证： ．
