深圳市2013年高三文科数学一模考试试题先来看看相关答案
2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D D A B B C C A D
二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．
11． . 12． . 13． ． 14． ． 15． .
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中， ， （ ），且 .
（1）求点 的坐标；
（2）若角 的顶点都为坐标原点且始边都与 轴的非负半轴重合，终边分别经过点 ，求 的值.
解：(1)
………………….2分
解得 ，
所以 ， ………………….6分
（2）由（1）可知 ，
， ……………………………….10分
……………………………….12分
【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识.考查了运算能力．
17．（本小题满分12分）
一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
学生
数学（ 分）
物理（ 分）
（1）要从 名学生中选 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 分的概率；
（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程 ．
解：（1）从 名学生中任取 名学生的所有情况为: 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共种情 况.………3分
其中至少有一人物理成绩高于 分的情况有： 、 、 、 、 、 、 共 种情况，
故上述抽取的 人中选 人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于 分的概率 . …………………………………………5分
（2）散点图如右所示. ……………………………………………6分
可求得：
= = ，
= = ， ……………………………………………8分
= =40，
=0.75，
， ……………………………………………11分
故 关于 的线性回归方程是：
. ……………………………………………12分
【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．
18．（本小题满分14分）
如图甲， 的直径 ，圆上两点 在直径 的两侧，使 ， ．沿直径 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）， 为 的中点， 为 的中点．根据图乙解答下列各题：
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求证： ；
（3）在 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
解:（1） 为圆周上一点，且 为直径，
∵ 为 中点， ，
.
∵两个半圆所在平面 与平面 互相垂直且其交线为 ，
∴ 平面 ， 平面 .
∴ 就是点 到平面 的距离，
在 中， ，
. ………………………………………4分
（2）在 中，
为正三角形，
又 为 的中点， ，
∵两个半圆所在平面 与平面 互相垂直且其交线为 ，
平面 .
∴ . ………………………………………9分
（3）存在， 为 的中点.证明如下：
连接 ，
∴ ，
∵ 为⊙ 的直径，
∴
∴ ，
平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
在 中， 分别为 的中点，
，
平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 .………………………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．
19．（本题满分14分）
设 是公比大于1的等比数列， 为数列 的前 项和．已知 ，且 是
和 的等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
解：（1）由已知，得 ………………………………………3分
解得 ．
设数列 的公比为 ，则
，
∴ ．
由 ，可知 ，
∴ ，
解得 ．
由题意，得 ． …………………………………………………5分
∴ ．
故数列 的通项为 ． …………………………………………………7分
(2)∵ ， …………11分
∴
.……………………………………………14分
【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力．
20．（本题满分14分）
已知椭圆 的中心为原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，且点 在该椭圆上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，椭圆 的长轴为 ，设 是椭圆上异于 、 的任意一点， 轴， 为垂足，点 满足 ，直线 与过点 且垂直于 轴的直线交于点 ， ．求证： 为锐角．
20．解：（1）设椭圆C的方程为 ，由题意可得 ,
又 ，∴ . …………………………………………2分
∵椭圆C经过 ，代入椭圆方程有 ，
解得 . …………………………………………5分
∴ ，
故椭圆C的方程为 . …………………………………………6分
（2）设 ， …………………………………………7分
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 的方程为 ． …………………………………………9分
令 ，得 ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ， ．
∴
∵ ，
∴
∴ …………………………………………12分
∵ ，
∴ ．
又 、 、 不在同一条直线，
∴ 为锐角. …………………………………………………14分
【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．
21．（本小题满分14分）
已知函数 ， 是自然对数的底数．
（1）试判断函数 在区间 上的单调性；
（2）当 ， 时，求整数 的值，使得函数 在区间 上存在零点；
（3）若存在 ，使得 ，试求 的取值范围．
解：（1） …………………………1分
由于 ，故当 时， ，所以 ，…………2分
故函数 在 上单调递增 . …………………………………………3分
（2） ， ，
， ……………………………………4分
当 时， ， ，故 是 上的增函数；
同理， 是 上的减函数. …………………………………5分
，当 ， ，
故当 时，函数 的零点在 内， 满足条件；
，当 ， ，
故当 时，函数 的零点在 内， 满足条件.
综上所述 或 . ………………………………………7分
（3） ，
因为存在 ，使得 ，所以当 时， …………………………8分
，
①当 时，由 ，可知 ， ，∴ ；
②当 时，由 ，可知 ， ，∴ ；
③当 时， .
∴ 在 上递减，在 上递增，…………………………………11分
∴当 时， ，
而 ，
设 ，因为 （当 时取等号），
∴ 在 上单调递增，而 ，
∴当 时， ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
设 ，则
.
∴函数 在 上为增函数，
∴ .
即 的取值范围是 ……………………………………14分
【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.
命题： 李志敏、程武军、许世清 审题：魏显峰
