2013河南高考适应性考试文科数学答案(一模)_高考

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2013年河南省新课程高考适应性考试（一）

文科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	C	D	A	A	B	B	D	D	D	D	C

二、填空题（每小题5分，共20分）

（13）（14）（15）（16）

三、解答题

（17）解：（Ⅰ）由正弦定理已知等式可化为

，

所以， …………………3分

所以，

所以.

由正弦定理得，，

所以a，c，b成等差数列. ……………………………6分

（Ⅱ）由得且a为最大边,

由，

得：，从而, ……………………………10分

所以. ……………………12分

（18）（Ⅰ）证明：因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AD．

又AD⊥C1D，CC1∩C1D＝C1，

所以AD⊥平面BCC1B1，

所以AD⊥BC，

所以D是BC的中点． ……………………3分

如图，连接A1C，设与AC1相交于点E，则点E为A1C的中点．

连接DE，则在中，因为D、E分别是BC、A1C的中点，

所以A1B∥DE，又DE在平面AC1D内，A1B不在平面AC1D内，

所以A1B∥平面AC1D． ……6分

（Ⅱ）解：存在这样的点P，且点P为CC1的中点． ………7分

下面证明：由（Ⅰ）知AD⊥平面BCC1B1，故B1P⊥AD．

设PB1与C1D相交于点Q，由于△DC1C≌△PB1C1，故∠QB1C1＝∠CC1D，

因为∠QC1B1＝∠CDC1，从而△QC1B1∽△CDC1，

所以∠C1QB1＝∠DCC1＝90°，

所以B1P⊥C1D．因为AD∩C1D＝D，所以B1P⊥平面AC1D． ………12分

（19）解：（Ⅰ）价格在[16,17﹚内的频数为1－(0.06+0.08+0.16+0.38)=0.32，

所以价格在[16,17﹚内的地区数为50×0.32＝16，………………………2分

设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x-15）×0.38=0.5，

解得：x=15≈15.7（元） …………………………………. ………5分

（Ⅱ）由直方图知，价格在的地区数为，

记为、、；价格在的地区数为，记为

若时，有，， 3种情况；

若时，有 6种情况；

若分别在和内时，

	A	B	C	D
x	xA	xB	xC	xD
y	yA	yB	yC	yD
z	zA	zB	zC	zD

共有12种情况. ……………………………10分

所以基本事件总数为21种，

事件“”所包含的基本事件个数有12种.

……………………………12分

（20）解：（Ⅰ）在中,设,,

由余弦定理得，

即，即，

得. ……………………………2分

又因为，，，

又所以，

所以所求椭圆的方程为. ……………………………6分

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，

设直线方程为，，

由得，即，

，

， ……………………………8分

由得，，又，，

则，，

， ……………………………10分

那么，

则直线直线过定点. ……………………………12分

（21）解：（Ⅰ）因为，

故当时，，当时，，

要使在上递增，必须，

因为，

要使在上递增，必须，即，

由上得出，当时，在上均为增函数. ……6分

（Ⅱ）方程有唯一解有唯一解，

设，所以（）

随变化如下表：



递减	极小值	递增

由于在上，只有一个极小值，所以的最小值为，

故当时，方程有唯一解． …………12分

（22）证明：（Ⅰ）如图，

=180°-2∠A．

因此∠A是锐角，

从而的外心与顶点A在DF的同侧，

∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．因此D，E，F，O四点共圆． ………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO，

即O在∠DEF平分线上． ……………10分

（23）解:（Ⅰ）由得，化为直角坐标方程为，

即. ……………4分

（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得

由，故可设是上述方程的两根，

所以，

又直线过点，故结合t的几何意义得

所以的最小值为 ……………10分

（24）解：（Ⅰ）

显然，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以函数的最小值 ……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，恒成立，

由于，

等号当且仅当时成立，

故，解之得或

所以实数的取值范围为或 ……………10分

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