2012—2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷
数学(理科)参考答案及评分标准
2013南昌二模数学理科试题答案下载!
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B A C B D A C D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5,共20分)
11. 3; 12. ; 13. 4 14.
三、选做题(本题共5分)
15. ① ② 或
四、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.解:(1)由题意可知,第3组的人数为 ,第4组的人数为 ,第5组的人数为 。…………………3分
所以利用分层抽样在 名志愿者中抽取 名志愿者,每组抽取的人数为:
第3组 ,第4组 ,第5组 ……………6分
(2) 的所有可能取值为0,1,2,3,
, , , ,……………………………………………………………………10分
所以, 的分布列为:
0 1 2 3
所以 的数学期望 ………………………………………………………………12分
17.解:(1) ,所以
,…3分
即 ,………………………………………………………………4分
当 时, , ,
所以当 时,函数 的值域是 ;……………………………6分
(2)由 ,得 ,又 ,
所以 ,………………………………………………………………………8分
因此” , ……9分
由余弦定理 ,得 , ……11分
所以: 。……………………………………………………………………12分
18.解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是 ,等比数列的公比是 ,
则 , ……………………………………………2分
, ……………………………………………4分
解得: ,所以: ;……………………………6分
(2) ,
,……………………………8分
记 ,则 ,
两式相减得: ,所以 ,……10分
所以 为偶数时, , 为奇数时, 。……12分
19.(1)证明:在菱形 中,因为 ,所以 是等边三角形,
又 是线段 的中点,所以 ,
因为平面 平面 ,所以 平面 ,所以 ;……2分
在直角梯形 中, , ,得到: ,从而 ,所以 ,……………………4分
所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 ;………6分
(2)由(1) 平面 ,如图,分别
以 所在直线为 轴, 轴, 轴
建立空间直角坐标系,
则 ,
………7分
设点 的坐标是 ,则 共面,
所以存在实数 使得:
,
得到: .即点 的坐标是: , ………8分
由(1)知道:平面 的法向量是 ,
设平面 的法向量是 ,
则: ,………………………9分
令 ,则 ,即 ,
所以 ,………………………………………………11分
即平面 与平面 所成角的余弦值是 。…………………………………12分
20.解:(1)由 ,………………………………………2分
又点 在椭圆上, , ……………………………………4分
所以椭圆方程是: ;……………………………………………………………5分
(2)当 垂直 轴时, ,则 的方程是: ,
的方程是: ,交点 的坐标是: ,猜测:存在常数 ,
即直线 的方程是: 使得 与 的交点 总在直线 上, ……………………6分
证明:设 的方程是 ,点 ,
将 的方程代入椭圆 的方程得到: ,
即: ,………………………………………………7分
从而: ,……………………………………………8分
因为: , 共线
所以: , ,………………………………………………9分
又 ,
要证明 共线,即要证明 ,………………………………10分
即证明: ,
即: ,
即:
因为: 成立,…………………12分
所以点 在直线 上。
综上:存在定直线 : ,使得 与 的交点 总在直线 上, 的值是 。……13分
21.解:(1) ……………………………………1分
当 即 时, ,函数 在定义域 上是增函数;……2分
当 即 时,由 得到 或 ,……4分
所以:当 时,函数 的递增区间是 和 ,递减区间是 ;…………………………………………………………………………5分
当 即 时,由 得到: ,
所以:当 时,函数 的递增区间是 ,递减区间是 ;……7分
(2)若函数 是“中值平衡函数”,则存在 ( )使得
即 ,
即 ,(*)………………………………………………………4分
当 时,(*)对任意的 都成立,所以函数 是“中值平衡函数”,且函数 的“中值平衡切线”有无数条; …………………………………………………8分
当 时,设 ,则方程 在区间 上有解,………………10分
记函数 ,则 ,…………………12分
所以当 时, ,即方程 在区间 上无解,
即函数 不是“中值平衡函数”.………………………………………………………14分