高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力 . 近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题.
一、考点分析
高考对立体几何的考查侧重以下几个方面：
1.(1)从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合.
(2)从内容上来看，主要是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用.
(3)从方法上来看，着重考查公理化方法，如解答题注重理论推导和计算相集合；考查转化的思想方法，如经常要把立体几何问题转化为平面几何问题来解决；考查模型化方法和整体考虑问题、处理问题的方法，如有时把形体纳入不同的几何背景之中，从而宏观上把握形体，巧妙地把问题解决；考查割补法、等积变换法，以及变化运动的思想方法，极限方法等.
(4)从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.
二、应试对策与考题展望
1.对近些年的高考立体几何试卷分析可知，将填空题设计成开放性问题和多选题的动向，应引起高度注意，至今已连续几年出现，这表明将立体几何填空题设计成新颖的题型已成为高考命题的趋势.
2.立体几何解题过程中，常有明显的规律性 . 如：三种角的求法，各种距离之间的转化，向量常用来证线线平行、垂直，向量法求异面直线所成角的优越性，空间向量选取及空间之坐标系的合理建立等.
3.化归、转化思想贯穿立体几何始终，是处理立体几何问题的基本数学思想，在复习中应注意培养化归转化意识，掌握常见的化归转化方法，如：等积转化，立几问题向平面问题转化，符号语言、文字语言、图形语言的相互转化等；在复习中还要建立知识框架和网络，弄清各概念之间的包含关系，理清定理的来龙去脉，从条件、结论和使用范围上去比较容易混淆的各个定理，从内涵和外延上比较容易混淆的各个概念.
三、经典考题评析
（一）开放型填空问题
立体几何填空题常以开放型问题出现，高考试卷中出现频率较高的是多选填空题 . 这类考题一般给出多个备选命题要求考生判断其真伪性，填写全满足要求的命题序号.
例1 (2004年全国高考山东、山西、河南、河北、江西、安徽卷理科试题)已知ａ、ｂ为不垂直的异面直线，α是一个平面，则ａ、ｂ在α上的射影有可能是 .
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线
③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号)
解析：如图
由上图可知①②④是正确的，而对于③，两直线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与ａ、ｂ异面矛盾，因此，③是错误的 . 故正确答案是①②④.
评析：立体几何在高中数学占有重要地位，是开放型问题的一个重要来源，在高考试卷中屡见不鲜.开放型问题是近年来才出现的新题型，属于选择题中的多选题，它排除了“唯一性”中“猜”的成份，多个结论的开放性加大了问题的难度，必须对每个备选结论逐一研究其真伪性，才能选出正确答案 . 对这类问题不能有一丝一毫的疏忽，错选一个全题皆错.
（二）解答题考查的三个热点问题
1.用空间向量求二面角
在立体几何中设计的二面角是用来度量两个相交平面的“开合”程度的，是立体几何中的一个重要概念，因此，考查二面角已成为久考不衰的热点问题 . 关于二面角的计算，均可归结为求两个向量的夹角问题.
例2 (2004年全国高考四川、云南、吉林、黑龙江理科数学试题)如图，直三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1中，∠ＡＣＢ=90°，ＡＣ=1，ＣＢ=，侧棱ＡＡ1=1，侧面ＡＡ1Ｂ1Ｂ的两条对角线交点为Ｄ，Ｂ1Ｃ1的中点为Ｍ.
(1)求证ＣＤ⊥平面ＢＤＭ；
(2)求面Ｂ1ＢＤ与面ＣＢＤ所成二面角的大小.
分析：本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.(1)要证ＣＤ⊥平面ＢＤＭ，只需证明ＣＤ与面内两条直线垂直即可.(2)先作出二面角的平面角，再求其所在三角形三边，用余弦定理求解.
解：如图，以C为原点建立坐标系.
(1)Ｂ(，0，0)，Ｂ1(，1，0)，Ａ1(0，1，1)，Ｄ(，，)，M(，1，0)，= (，，)，= (，－1，－1)，= (0，，－).
则·= 1－－= 0，·= 0+－=0，∴ＣＤ⊥Ａ1Ｂ，ＣＤ⊥ＤＭ. 因为Ａ1Ｂ、ＤＭ为平面ＢＤＭ内两条相交直线，所以ＣＤ⊥平面ＢＤＭ．
(2)设ＢＤ中点为Ｇ，连结Ｂ1Ｇ，则Ｇ(，，)，= (－，，)，= (－， －，)，∴·= 0，∴ＢＤ⊥Ｂ1Ｇ. 又ＣＤ⊥ＢＤ，∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角.
∴ cosθ==－.
所以所求二面角的大小等于π－arccos.
评析：本题通过一个倒放的直三棱柱考查了立体几何的基础知识，线面垂直的判定定理、二面角等知识，同时考查了空间想象能力及推理运算能力.本题用空间向量的知识求解思路清楚，运算简捷.
2.线线、线面平行与垂直问题
从近些年看，以多面体为载体，重点考查空间的直线与直线和直线与平面的位置关系一直是高考立体几何命题的热点 . 因为这类题目既可以考查多面体的概念和性质，又能考查空间的线面关系，并将论证和计算有机地结合在一起，可以比较全面、准确地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析和解决问题的能力.
例3 (2004年天津高考理科试题)如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是正方形，侧棱ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ，ＰＤ=ＤＣ，Ｅ是ＰＣ的中点，作ＥＦ⊥ＰＢ交ＰＢ于点Ｆ.
(1)证明ＰＡ//平面ＥＤＢ；
(2)证明ＰＢ⊥平面ＥＦＤ；
(3)求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小.
分析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
①证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；②求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；③证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从9(A)证法中都能十分明显地体现出来.下面介绍9(B)解法.
如图所示建立空间直角坐标系，Ｄ为坐标原点，设ＤＣ=ａ.
(1)证明：连结ＡＣ，ＡＣ交ＢＤ于Ｇ，连结ＥＧ. 依题意得Ａ(ａ，0，0)，Ｐ(0，0，ａ)，Ｅ(0，，) . ∵底面ＡＢＣＤ是正方形，∴Ｇ是此正方形的中心，故点Ｇ的坐标为(，，0)且=(ａ，0，－ａ) ，=(，0， －). ∴ ＝2，这表明ＰＡ∥ＥＧ. 而ＥＧ平面ＥＤＢ且ＰＡ平面ＥＤＢ，∴ＰＡ∥平面ＥＤＢ．
(2)证明：依题意得，Ｂ= (ａ，ａ，0)，(ａ，ａ，－ａ).又=(0，，)，故·= 0+－=0. ∴ＰＢ⊥ＤＥ. 由已知ＥＦ⊥ＰＢ，且ＥＦ∩ＤＥ = Ｅ，所以ＰＢ⊥平面ＥＦＤ.
(3)解：设点Ｆ的坐标为(ｘ0 ，ｙ0，ｚ0)，=λ，则(ｘ0 ，ｙ0，ｚ0－ａ)=λ(ａ，ａ，－ａ).
从而ｘ0=λａ，ｙ0=λａ，ｚ0 =(1－λ)ａ. 所以=(－ｘ0 ，－ｙ0，－ｚ0)=.
由条件ＥＦ⊥ＰＢ知，·= 0，即－λａ2+(－λ)ａ2－(λ－)ａ2=0，解得λ=.
∴点Ｆ的坐标为(，，)，且=(－，，－)，=(－，－，－)，
∴·=－－+=0，即ＰＢ⊥ＦＤ，故∠ＥＦＤ是二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的平面角.
∵·=－+=，且||=＝ａ，||==ａ，∴cos∠ＥＦＤ===，∴∠ＥＦＤ=.
所以，二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小为．
评析：本题以一个四棱锥为载体，考查了线面平行、线面垂直、斜线和平面所成的角以及二面角等知识，考查了学生的空间想象能力及逻辑推理能力． 此题用空间向量知识求解的关键在于建立坐标系，建立坐标系的原则是使尽可能多的点在坐标轴上，从而相关点和向量得到坐标便于表示．
3.点到面的距离问题
立体几何中的求距离，也是高考中的命题热点，其中点到平面的距离的计算是立体几何中的一个难点 . 求点到平面距离，一般方法是先由该点向平面引垂线确定垂足，把点到平面的距离转化为解三角形求解，需要作辅助线，然后通过逻辑推理论证及计算，这样处理比较麻烦，而用向量解题则较为简便 . 引入空间向量后，通过将空间元素的位置关系转化为数量关系，可将过去的形式逻辑证明转化为数值运算，即借助向量法使解题模式化，用机械性操作把问题转化，因此，向量为立体几何代数化带来了极大的便利.
例4 (2004年福建理科高考题)在三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中，△ＡＢＣ是边长为4的正三角形，平面ＳＡＣ⊥平面ＡＢＣ，ＳＡ=ＳＣ=2，Ｍ、Ｎ分别为ＡＢ、ＳＢ的中点.
(1)证明：ＡＣ⊥ＳＢ；
(2)求二面角Ｎ－ＣＭ－Ｂ的大小；
(3)求点Ｂ到平面ＣＭＮ的距离.
分析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、二面角、点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 若按常规方法解，(1)需作辅助线再构造一平面，可得线面垂直结论，即可证得线先垂直；(2)由三垂线定理作出二面角的平面角，再由直角三角形知识即可求解；(3)由等体积转换ＶＢ－ＣＭＮ=ＶＮ－ＣＭＢ即可求解. 但解此题用下面的空间向量知识解更简捷.
解：(1)取ＡＣ中点Ｏ，连结ＯＳ、ＯＢ. ∵ＳＡ＝ＳＣ，ＡＢ＝ＢＣ，∴ＡＣ⊥ＳＯ且ＡＣ⊥ＢＯ. ∵平面ＳＡＣ⊥平面ＡＢＣ，平面ＳＡＣ∩平面ＡＢＣ＝ＡＣ，∴ＳＯ⊥面ＡＢＣ，∴ＳＯ⊥ＢＯ．
如图所示建立空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ. 则Ａ(2，0，0)，Ｂ(0，2，0)，Ｃ(－2，0，0)，Ｓ(0，0，2)，Ｍ(1，，0)，Ｎ(0，，).
∴＝ (－4，0，0)，= (0，2，2)，∵·＝(－4，0，0)·(0，2，2) = 0，∴ＡＣ⊥ＳＢ .
(2)由(1)得＝(3，，0)，= (－1，0，). 设ｎ = (ｘ，ｙ，ｚ)为平面ＣＭＮ的一个法向量，则
，取ｚ =1，则ｘ=，ｙ =－，得ｎ= (，－，1). 又= (0，0，2)为平面ＡＢＣ的一个法向量， ∴cos(ｎ， )==. ∴二面角Ｎ－ＣＭ－Ｂ的大小为arccos.
(3)由(1)(2)得= (－1，，0)，ｎ= (， －，1)为平面ＣＭＮ的一个法向量，∴点Ｂ到平面ＣＭＮ的距离ｄ ==.
评析：此题三个小问题层层深入，由(1)证明线线垂直，(2)又利用三垂线定理及勾股定理求二面角，(3)由三角形等面积转换求线段，进而由等体积求点到平面距离.这是一道考查立体几何知识较全面的考题.
