2013郑州二模理科数学试题及答案完整下载
2013年高中毕业年级第二次质量预测数学（理科） 参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
DDAA BCCD BACC
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．6；14．12；15． ；16．1或2．
三、解答题
17．解:作 垂直公路所在直线于点 ,则 ,
――――2分
设骑摩托车的人的速度为 公里/小时,追上汽车的时间为 小时
由余弦定理: ――――6分
-――――8分
当 时, 的最小值为 , 其行驶距离为 公里――――11分
故骑摩托车的人至少以 公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了 公里. ――――12分
18．解: （Ⅰ）茎叶图略. ―――2分
统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;
②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;
③甲种树苗的中位数为 ，乙种树苗的中位数为 ;
④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，
乙种树苗的高度分布较为分散. ―――4分（每写出一个统计结论得1分）
（Ⅱ） ――――6分
表示 株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.
值越小，表示长得越整齐， 值越大，表示长得越参差不齐．――――8分
（Ⅲ）由题意，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为 ，则 ―――10分
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4 5
――――12分
19.解：（Ⅰ）取 的中点为 ，连结
在正三棱柱 中面 面 ，
为正三角形，所以 ，
故 平面 ．
以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系 ，――――2分
则 ， ， ， ， ．
所以 ， ， ，
因为 ，
所以 ，又 ，
所以 平面 ． ――――－6分
（Ⅱ）由⑴得 ，所以 ， ， ，
设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
由 得平面 的一个法向量为 ，
同理可得平面 的一个法向量 ，
由 ，解得 ，为所求．――――12分
20．解：（Ⅰ）设 ，由题知 ，所以以 为直径的圆的圆心 ，
则 ，
整理得 ，为所求． ――――4分
（Ⅱ）不存在，理由如下： ――――5分
若这样的三角形存在，由题可设 ，由条件①知 ，
由条件②得 ，又因为点 ，
所以 即 ，故 ，――――9分
解之得 或 （舍），
当 时，解得 不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在． ――――12分
21、解：（Ⅰ）设 ，
则 ， ――――1分
当 时， ，此时函数 为增函数；
当 时， ，此时函数 为减函数．
所以 ，为所求． ――――4分
（Ⅱ）设过点 的直线 与函数 切于点 ，则其斜率 ，
故切线 ，
将点 代入直线 方程得：
，即 ，――――7分
设 ，则 ，
当 时， ，函数 为增函数；
当 时， ，函数 为减函数．
故方程 至多有两个实根， ――――10分
又 ，所以方程 的两个实根为 和 ，
故 ，所以 为所求．――――12分
22．证明：（Ⅰ）连结AB、AC，∵AD为⊙M的直径，
∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，
∴∠CEF＝∠AGD=90°. ――――2分
∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GAB=∠ECF. ――――4分
∴△CEF∽△AGD ∴ ， ∴AG•EF = CE•GD ――――6分
（Ⅱ）由⑴知∠DAG=∠GAB=∠FDG，∠G=∠G，
∴△DFG∽△AGD， ∴DG2=AG•GF. ――――8分
由⑴知 ，∴ ――――10分
23．解：（Ⅰ）当 时，C1的普通方程为 ，C2的普通方程为 ，
联立方程组 ，解得C1与C2的交点坐标为（1，0）， ．――――5分
（Ⅱ）C1的普通方程为 ，A点坐标为 ，
故当 变化时，P点轨迹的参数方程为 （ 为参数）
P点轨迹的普通方程为 ．
故P点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．――――10
24．解：（Ⅰ）由 得 ，解得 ．
又已知不等式 的解集为 ，所以 ，解得 .――――4分
（Ⅱ）当 时， ，设 ，
于是 ――――6分
所以当 时， ； 当 时， ； 当 时， ．
综上可得， 的最小值为5．――――9分
从而若 ，即 对一切实数 恒成立，
则 的取值范围为（-∞，5]．――――10分
