点击下载：江苏省盐城市2013届高三第二次模拟考试数学试题
江苏省盐城市2013届高三3月第二次模拟考试
数学试卷
（总分160分，考试时间120分钟）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。
⒈若集合 ，且 ，则实数 的值为 。
⒉若复数 满足 （为虚数单位），则 。
⒊现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 。
⒋已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是 。
⒌若 ， 是两个单位向量， ， ，且 ⊥ ，则 ， 的夹角为 。
⒍如图，该程序运行后输出的结果为 。
⒎函数 ， 的单调递增区间为 。
⒏若等比数列 满足 且 （ 且 ），则 的值为 。
⒐过点 且与直线 ： 和 ： 都相切的所有圆的半径之和为 。
⒑设函数 满足对任意的 ， 且 。已知当 时，有 ，则 的值为 。
⒒椭圆 （ ）的左焦点为F，直线 与椭圆相交于A，B两点，若 的周长最大时， 的面积为 ，则椭圆的离心率为 。
⒓定义运算 ，则关于非零实数 的不等式 的解集为 。
⒔若点G为 的重心，且AG⊥BG，则 的最大值为 。
⒕若实数 、 、 、 满足 ，则 的最小值为 。
二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
⒖（本小题满分14分）已知函数 。
⑴求 的最小正周期；
⑵求 在区间 上的最大值和最小值及取得最值时 的值。
⒗（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E为的PC中点。
⑴求证：PA∥平面BDE；
⑵求证：平面PBC⊥平面PDC。
⒘（本小题满分14分）如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛。据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。设∠ ，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元。
⑴写出S关于 的函数表达式，并指出 的取值范围；
⑵问中转点D距离A处多远时，S最小？
⒙（本小题满分16分）如图，圆O与离心率为 的椭圆T： （ ）相切于点M 。
⑴求椭圆T与圆O的方程；
⑵过点M引两条互相垂直的两直线 、 与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为 、 ，求 的最大值；
②若 ，求 与 的方程。
⒚（本小题满分16分）设函数 （ ， ）。
⑴若 ，求 在 上的最大值和最小值；
⑵若对任意 ，都有 ，求 的取值范围；
⑶若 在 上的最大值为 ，求 的值。
⒛（本小题满分16分）设 是各项均为非零实数的数列 的前 项和，给出如下两个命题上：
命题 ： 是等差数列；命题 ：等式 对任意 （ ）恒成立，其中 是常数。
⑴若 是 的充分条件，求 的值；
⑵对于⑴中的 与 ，问 是否为 的必要条件，请说明理由；
⑶若 为真命题，对于给定的正整数 （ ）和正数M，数列 满足条件 ，试求 的最大值。
盐城市2013届高三年级第二次模拟考试
数学附加部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分。请把答案写在答题纸的指定区域内。
A．（选修4－1：几何证明选讲）
如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，且CA平分∠BAE，DC是⊙O的切线，交AE的延长线于点D。求证：CD⊥AE。
B．（选修4－2：矩阵与变换）
求曲线 在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中 ， 。
C．（选修4－4：坐标系与参数方程）
已知圆C的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ，求直线截圆C所得的弦长。
D．（选修4－5：不等式选讲）
若 ，证明
[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分。请把答案写在答题纸的指定区域内。
22．（本小题满分10分）
正三棱柱 的所有棱长都为4，D为的 中点。
（1）求证： ⊥平面 ；
（2）求二面角 的余弦值。
23．（本小题满分10分）
已知数列 满足 ， 。
（1）证明： （ ）；
（2）证明： 。
盐城市2013届高三年级第二次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 4 2. 3. 4. 5. 6. 16 7. 8.16
9. 42 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（Ⅰ）
……………………………………2分
…………………………………………………………4分
所以 ………………………………………………7分
（Ⅱ）因为 ，所以 …………………………9分
所以 ，所以 ，当 即 时， ，
当 即 时， ，…………………………14分
16.证明(1)连接 交 于 ,连接
∵四边形 是菱形, ∴ 是 中点, ……………………………2分
又 为 中点.∴ ∥ …………………………………………4分
又 , ∴ ∥平面 ……………………………7分
(2)在△ 中,易得 ∴ ,∴ ………9分
∴在△ 中可求得 ,同理在△ 中可求得
∴在△ 中可得 ,即 ⊥ ………………………11分
又 , 为 中点, ∴ ⊥ …………………………12分
⊥面 ,又 面 ∴平面 平面 ……………………14分
17．解: (1)由题在 中， ．
由正弦定理知 ，得 ……………3分
……………………………………………………………………7分
(2) ，令 ，得 ………………………………10分
当 时， ；当 时， ， 当 时 取得最小值………………12分
此时 ，
中转站距 处 千米时，运输成本 最小…………………………14分
18．解: (1)由题意知: 解得 可知:
椭圆 的方程为 与圆 的方程 ……………………………4分
(2)设 因为 ⊥ ,则 因为
所以 ,……………………………7分
因为 所以当 时 取得最大值为 ，此时点 …………9分
(3)设 的方程为 ,由 解得 ；
由 解得 …………………………11分
把 中的 置换成 可得 ， ………………12分
所以 ，
，
由 得 解得 ……………………15分
所以 的方程为 ， 的方程为
或 的方程为 ， 的方程为 ………………………16分
19．解(1) ………………………………… 2分
∴在 内, ，在
∴在 内, 为增函数，在 内 为减函数
∴函数 的最大值为 ，最小值为 ………………………………4分
（2）∵对任意 有 ，∴
从而有 ∴ ……………………………6分
又 ∴ 在 内为减函数， 在 内为增函数,只需 ，则
∴ 的取值范围是 …………………………10分
（3）由 知 ① ②，
①加②得 又∵ ∴ ∴ …………………14分
将 代入①②得 ∴ ………………………………………16分
20．解：（1）设 的公差为 ，则原等式可化为
所以 ，
即 对于 恒成立，所以 …………………………………………………4分
（2）当 时，假设 是否为 的必要条件，即“若 ①对于任意的 恒成立，则 为等差数列”.
当 时， 显然成立.……………………………………………6分
当 时， ②，由①-②得，
，即 ③.
当 时， ，即 、 、 成等差数列，
当 时， ④，即 .所以 为等差数列，即 是否为 的必要条件. ………………………………………………………………………10分
(3)由 ，可设 ，所以 .
设 的公差为 ，则 ，所以 ，
所以 ，
，所以 的最大值为 ……………16分
附加题答案
21. A、【证明】连结OC，所以∠OAC=∠OCA，
又因为CA平分∠BAE，所以∠OAC=∠EAC，
于是∠EAC=∠OCA，所以OC//AD.
又因为DC是⊙O的切线，所以CD⊥OC， CD⊥AE………………… 10分
B．解：MN= = ，…………………………………4分
设 是曲线 上任意一点，点 在矩阵MN对应的变换下变为点 ，
则有 ，于是 ， .…………………8分
代入 得 ，
所以曲线 在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为 ………………………10分
C．圆 的方程为 ；直线的方程为 .
故所求弦长为 .………………………………………………10分
D．证明：由柯西不等式可得
…………………7分
又 ，所以 .…………………10分
22. 解：取BC中点O，连AO，∵ 为正三角形，
∴ ，
∵在正三棱柱 中，平面ABC 平面 ,∴ 平面 ，
取 中点为 ,以O为原点， , , 的方向为 ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 .∴ ,
∵ , .
∴ ， ,∴ 面 …………………………………5分
（2）设平面 的法向量为 , 。
，∴ ，∴ ， ，令 ，得 为平面 的一个法向量，由（1）知 面 ，
∴ 为平面 的法向量， ，
∴二面角 的余弦值为 ………………………………………10分
23.（1）因为 所以
假设当 时，因为 ，
所以， 由数学归纳法知，当 时 .………………………………5分
（2）由（1）知， 得 ，
所以 所以 即
所以 ，以此类推，得 ，问题得证. …………10分
