2013年安庆市二模数学理科答案发布
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2013年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题(理科) 参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 B D B D A B C D B C
1．解析： ，故选B。
考点：复数的基本运算
2．解析：∵ ，
∴ ，故选D。
考点：集合的含义与运算。
3．解析： ，∴ ，故选B。
考点：等差数的通项与求和。
4．解析：∵ ，∴ ，∴ ，
故选D。
考点：向量的运算与双曲线的性质。
5．解析：由题意得：
则 ，可得 的最小正值为 ，故选A。
6. 解析：∵若 、 、 三点共线，
∴ 即 ，故选B。
考点：向量共线的充要条件与轨迹
7．解析：由三视图知原几何体为四个面均为直角三形的三棱锥，
如右图所示。则外接球球心为AD的中点，故 ，
∴外接球的体积是 。故选C。
考点：三视图与几何体体积的计算。
8．解析：∵方程 的两根分别在区间 和 上，
∴ ，由线性规划知识得： 的最小值为4。故选D。
考点：二次方程的根的分布和简单的线性规划。
9．解析：将极坐标方程 和 化为直角坐标系下的方程得：
和 ，由数形结合易得：这两条切线的夹角的最大值为 ，
故选B
10．解析：设 在区间 上的三个零点为 、 、 ，
则 ，
∴
∵ 、 、 为三个零点，∴ 、 、 互不相等，∴上式“=”不成立。
∴ ，故选C.
二、填空题
11．-16； 12．4； 13．6.2； 14． （1，2）； 15．②③④
11．解析:由
∴
考点:二项式定理.
12．解析:由框图知 ,由 得:k=4.
考点: 程序框图
13．解析: ∵ 回归直线方程为 , ,∴样本中心点为(3,5)
又由于除去 和 这两个数据点后， 的值没有改变，所以中心点也没有改变,设新的回归直线 为 ,将样本中心点(3,5)代入解得: ,
当 时， 的估计值为6.2.
14．解析: 设 ，得
当 时，得 在区间[2,3]上是减函数且 .
所以 在区间[2,3]上也是减函数，那么 且 ，此种情况无解.
当 时，得 在区间[2,3]上是增函数且 .
所以 在区间[2,3]上也是增函数，那么 且 ，解得 .
所以实数 的取值范围是（1，2）.
15．解析: ①设P点的坐标为 ,则：
，∴①错误;
② ，
（∵ 在圆 外）∴②正确
③易知当点P在长轴的顶点上时, 最小，且 为锐角,
∴设 的外接圆半径为 ,由正弦定理得:
，
∴ ，∴ 的外接圆半径的最大值为 ，∴③正确。
④∵直线 的方程为: ……(1)
直线 的方程为: ……(2)
(1) (2)得 ，∴点M的轨迹为双曲线。
∴④正确。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 解：
………4分
（Ⅰ） ………5分
∵ ，∴ ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当 时， 取得最大值，
∴ ， 或 （舍去）
由正弦定理知： ………9分
又 ………11分
∴ ……………12分
17. （1）证明：在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点
、 为等腰直角三角形
…………2分
H为AO的中点
………… 4分
又 , ∩ 平面ABCO,而 平面
平面 平面ABCO ………… 6分
（2）解：分别以直线 、 为 轴和 轴， 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.则 、 、 、
.………… 8分
设平面 的一个法向量 ，
，
类似可求得平面 的一个法向量
………… 10分
所以二面角O—DB—H的余弦值为 ………… 12分
18．解：（Ⅰ）该选手恰好答题4道而通过的概率 ……3分
（Ⅱ）由题意可知， 可取的值是 ……4分
的分布列为
3 4 5
P
……10分
所以 的数学期望为 ……12分
19．解：（1）由
（ ，∴ 为等差数列 ……3分
∵ ，
又∵ 为正项数列，∴ ……5分
∴ ……6分
（2） ……9分
∴
即 。 ……12分
注：第（2）小题也可用数学归纳法或用数列单调性加以证明，请酌情给分。
20．证明：（1）设 , ,
由 ，
∴ ……3分
∵AB的方程为：
∵ ，∴AB的方程为 ，
∴直线AB恒过定点（0，1） ……6分
（2）不妨设
则AB与抛物线围成的封闭区域的面积 ……8分
……10分
∵ ，
∴
∴ ，“=”当且仅当 时成立。
∴直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为 。 ……13分
另解：设 , ,AB的方程为：
联立 消去y得：
∴ ， ……3分
由
∴ ，∴直线AB恒过定点Q（0，1）。……6分
（2）由（1）知AB的方程为：
不妨设 ，则AB与抛物线围成的封闭区域的面积 ……8分
……11分
，“=”当且仅当 时成立。
∴直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为 . ……13分
21．证明：（1）∵
∴ ……2分
∵ ，∴
∴ 在 上为增函数，∴ ，
∴当 时， 恒成立. ……4分
（2）
……6分
∵ ，记 ，则
设 ，
∵正数 ， 满足： ，∴
由（1）知： 在 上恒成立。
∴ ……9分
另证：
∵
设 ……6分
求导得：
∵ ，∴ ，∴ 在 上为增函数，
∴
∴ ……9分
（3）结论：“对于任意的正数 ， ， 满足： ，
都有 ”。 ……11分
证明如下：∵
由于 ， ，利用（2）的结论可得：
。
∴ 成立。 ……14分
