高三数学(文)试题答案 第1页(共5页)
合肥市2016年高三第一次教学质量检测
数学试题(文)参考答案及评分标准
一、选择题:每小题5分,满60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D B B A A A B D A C
二、填空题:每小题5分,满20分.
(13) (14)4 (15) (16) .
三.解答题:
(17)解(Ⅰ)设数列 的公差为 ,则由已知条件得:
,化简得 ,若 ,则等比数列
的公比为1,不符合题意.于是, , .
…………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,故 , 时,
时, ,经检验符合上式。
综上, …………12分高三数学(文)试题答案 第2页(共5页)
(18)解(Ⅰ)该校高一年级的男、女生比为600∶480=5∶4,所以,按照分层抽样,男生应抽取
50名,女生应抽取40名. …………4分
(Ⅱ)2×2列联表如下:
愿意选修英语口语课程 不愿意选修英语口语课程 合计
男生 25 25 50
女生 30 10 40
合计 55 35 90
…………6分
由 ,代入数据得
,
所以,在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“该校高一学生是否愿意选修英
语口语课程与性别有关”. …………12分
(19)证明:(Ⅰ)取AE 中点G,连GF、GB
E
D
B C
F
A
G
点F 为DE 中点
GF∥AD,且GF=
又 AD∥BC ,AD=2BC
GF∥BC,且GF=
四边形CFGB 为平行四边形,则CF∥BG
而 平面EAB,BG 平面EAB,
CF∥平面EAB …………5分高三数学(文)试题答案 第3页(共5页)
(Ⅱ) CF⊥AD
AD⊥BG,而AB⊥AD
AD⊥平面EAB
AD⊥EA
又 平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD
EA⊥平面ABCD,
1 …………12分
(20)解(Ⅰ)∵ 在抛物线 上, 又圆 的圆心为 半径为
圆 的方程为 …………4分
(Ⅱ)记 则
由 知,
且
等号当且仅当
即 时取到.
又 注意到高三数学(文)试题答案 第4页(共5页)
而
即 的最小值为 当且仅当 时取到. …………12分
(21)解:(Ⅰ)由 易知 ,则
而 ,则所求切线方程为 ,即 .
…………5分
(Ⅱ)∵f(x)=ex-xlnx,g(x)=ex -tx2+x,t∈R.
∴g(x)≥f(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立
⇔ex -tx2+x-ex+xlnx≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
即t≤
ex +x-ex+xlnx
x2 对任意x∈(0,+∞)恒成立.
令F(x)=
ex +x-ex+xlnx
x2 ,
则F′(x)=
xex +ex-2ex -xlnx
x3 =
1
x2(ex +e-
2ex
x
-lnx)
设G(x)=ex +e-
2ex
x
-lnx,
则G′(x)=ex -
2(xex -ex )
x2 -
1
x
=
ex (x-1)2+ex -x
x2 >0
对任意x∈(0,+∞)恒成立.
∴G(x)=ex +e-
2ex
x
-lnx 在(0,+∞)上单调递增,且G(1)=0.
∴x∈(0,1)时,G(x)<0,x∈(1,+∞)时,G(x)>0
即x∈(0,1)时,F′(x)<0,x∈(1,+∞)时,F′(x)>0,
∴F(x)在(0,1)上单调递减,F(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴F(x)≥F(1)=1
∴t≤1即t的取值范围是(-∞,1] …………12分高三数学(文)试题答案 第5页(共5页)
(22)解:(Ⅰ)∵AB 为圆O 的直径,
∴AC⊥BD,而BC=CD.
∴AB=AD,而∠DBA= ,
∴ 为等边三角形.连BE.由AB 为圆O 的直径.
∴AD⊥BE∴E 为AD 中点. …………5分
(Ⅱ)连CO,易知CO∥AD,
∵CF 为圆O 的切线∴CF⊥CO,
∴CF⊥AD,又BE⊥AD,
∴BE∥CF,且CF= ,由CF= 知 ,
∴ . …………10分
(23)解:(Ⅰ)由 知直角坐标方程为 ,
及 ( >-3) …………5分
(Ⅱ)将 代入曲线C 的直角坐标方程得 ,
化简得 .
曲线C 与直线 仅有唯一公共点,
解得 . …………10分
(24)证明:
(Ⅰ) ,等号在
时取得,即 的最大值为1. ………5分
(Ⅱ) ,因为 ,
所以, >6,
所以,不存在这样的a,b.使得A+B=6. ………10分
