2013天津高三十二校联考数学理试题答案
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天津市十二区县重点学校2013届高三3月毕业班联考（一）
数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
参考公式：
•如果事件 、 互斥，那么
柱体的体积公式 . 其中 表示柱体的底面积, 表示柱体的高.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 是虚数单位，复数 = （ ）
A． B. C. D.
2.“ 成等差数列”是“ ”成立的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.阅读右面的程序框图，则输出的 = （ ）
A．14 B．30 C．20 D．55
4.设函数 ，则函数 （ ）
A．在区间 内均有零点
B．在区间 内均无零点
C．在区间 内有零点，在区间 内无零点
D．在区间 内无零点，在区间 内有零点
5.在 的二项展开式中， 的系数为（ ）
A．-120 B．120 C．-15 D．15
6.在钝角△ABC中，已知AB= ， AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
7.己知抛物线方程为 （ ），焦点为 ， 是坐标原点， 是抛物线上的一点， 与 轴正方向的夹角为60°，若 的面积为 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
8．已知函数 数列 满足 ，且 是单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
9.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．:高&考%资(源#网]
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
11. 已知圆 的参数方程为 为参数), 以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 , 则直线截圆 所得的弦长是 .
12．如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线，
与 的延长线交于点 ， 为切点．若 ，
，则 的长为 .
13.若不等式 对一切非零实数 均成立,记实数 的取值范围为 .已知集合 ，集合 ，则集合 .
14.已知点 为等边三角形 的中心, ,直线 过点 交线段 于点 ，交线段 于点 ，则 的最大值为 .
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
设函数 的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 在区间 上的值域；
（Ⅲ）若函数 的图像是由 的图像向右平移 个单位长度得到，
求 的单调增区间．
16．（本小题满分13分）
在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是 ．
（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率.
17．（本小题满分13分）
如图，四棱柱 的底面 是平行四边形，且 ， ， ， 为 的中点， 平面 ．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，试求异面直线 与
所成角的余弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角 的余弦值.
18．（本小题满分13分）
设等比数列 的前 项和为 ，已知 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成公差为 的等差数列，
设数列 的前 项和 ，证明： .
19．（本小题满分14分）
已知中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆过点 ，且它的离心率 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）与圆 相切的直线
交椭圆于 两点，若椭圆上一点 满足
，求实数 的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若 为 的极值点，求实数 的值；
（Ⅱ）若 在 上为增函数，求实数 的取值范围；
(Ⅲ)当 时，方程 有实根，求实数 的最大值.
2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）
数学理科参考答案
一、选择题:每小题5分，满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D C B A C
二、填空题: 每小题5分，共30分.
9．25 [来源；10． ； 11． ； 12． ； 13． ； 14．
三、解答题
15．（本小题满分13分）
设函数 的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 在区间 上的值域；
（Ⅲ）若函数 的图像是由 的图像向右平移 个单位长度得到，
求 的单调增区间．
解： （Ⅰ）
…………2分
…………4分
依题意得 ，故 的值为 . …………5分
（Ⅱ）因为 所以 ， …………6分
…………8分
，即 的值域为 …………9分
（Ⅲ）依题意得: …11分
由 …………12分
解得
故 的单调增区间为: …………13分
16．（本小题满分13分）
在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是 ．
（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
依条件可知X～B(6， ).
( )
X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
（注：每个概率1分，列表1分,共8分，没有过程只列表扣3分）………8分
= .
或因为X～B(6， )，所以 . 即X的数学期望为4． ………9分
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，
则 …………12分
（每个概率计算正确一分，共三分；列一个大式子，若计算错误则无分）
答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为 ……………………………13分
17．（本小题满分13分）
如图，四棱柱 的底面 是平行四边形，且 ， ， ， 为 的中点， 平面 ．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，试求异面直线 与
所成角的余弦值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角 的余弦值.
17.解（Ⅰ）依题意，
所以 是正三角形， ……1分
又 ……2分
所以 ， ……3分
因为 平面 ， 平面 ，所以
因为 ，所以 平面 ……4分
因为 平面 ，所以平面 平面 ……5分
（Ⅱ）取 的中点 ，连接 、 ，连接 ，则
所以 是异面直线 与 所成的角 ……7分
因为 ， ，
所以 ， ， ……8分
所以 ……9分
（Ⅰ）（Ⅱ）解法2：以 为原点，过 且垂直于 的直线为 轴， 所在直线为 轴、 所在直线为 建立右手系空间直角坐标系 ……1分
设 （ ），
则 ……2分
（Ⅰ）设平面 的一个法向量为 ，
则
，取 ，则 ，从而 ， ……3分
同理可得平面 的一个法向量为 ， ……4分
直接计算知 ，所以平面 平面 ……5分
（Ⅱ）由 即
解得
， ……7分
所以异面直线 与 所成角的余弦值
……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知 ，平面 的一个法向量为
又 ， 设平面 的法向量 则 得 ……11分
设二面角 的平面角为 ，且 为锐角
则
所以二面角 的余弦值为 ……13分
18．（本小题满分13分）设等比数列 的前 项和为 ，已知 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成公差为 的等差数列，设数列 的前 项和 ，证明： .
18．解（Ⅰ）由 N*）得 N*， ），
两式相减得： ， 即 N*， ）， ……2分
∵ 是等比数列，所以 ，又 ……3分
则 ，∴ ， ……4分
∴ . …………………………………5分
（Ⅱ）由（1）知 ，
∵ ……7分， ∴ ， ………8分
令 … ，
则 +… ① …………9分
… ② ………10分
①-②得 …
…………12分
. ……………13分
19．（本小题满分14分）
已知中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆过点 ，且它的离心率 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）与圆 相切的直线 交椭圆于 两点，若椭圆上一点 满足 ，求实数 的取值范围.
20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为 …………… 1分
由已知得： 解得 ……………4分
所以椭圆的标准方程为： ……………5分
(Ⅱ) 因为直线 ： 与圆 相切
所以， ……………6分
把 代入 并整理得： ┈7分
设 ，则有
……………8分
因为， ， 所以， … 9分
又因为点 在椭圆上， 所以， …………… 10分
…………… 12分
因为 所以 …………… 13分
所以 ，所以 的取值范围为 …………… 14分
20．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）若 为 的极值点，求实数 的值；
（Ⅱ）若 在 上为增函数，求实数 的取值范围；
(Ⅲ)当 时，方程 有实根，求实数 的最大值.
20．解：（I） ………2分
因为 为 的极值点，所以 ，即 ，解得 ……4分
（II）因为函数 在 上为增函数，所以
在 上恒成立 ………6 分
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上为增函数，故 符合题意 ………7分
当 时，由函数 的定义域可知，必须有 对 恒成立，故只能 ，所以 在 上恒成立 ………8分
令函数 ，其对称轴为 ，因为 ，所以 ，要使 在 上恒成立，只要 即可， ………9分
即 ，所以 因为 ，所以 .
综上所述，a的取值范围为 ………10分
（Ⅲ）当 时，方程 可化为
问题转化为 在 上有解，即求函数 的值域 ………11分
因为函数 ，令函数 ， ………12分
则 ，
所以当 时， ，从而函数 在 上为增函数，
当 时， ，从而函数 在 上为减函数，
因此 ………13分
而 ，所以 ，因此当 时，b取得最大值0. ………14分
（第三问如用数形结合求解，相应给分）
