2013天津十二校联考数学文科试题及答案
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天津市十二区县重点学校2013届高三3月毕业班联考（一）
数学文试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的）
1. 是虚数单位，复数 =
A. B. C. D.
2.实数 ， 满足条件 ，则目标函数 的最大值为
A．7 B．8 C．10 D．11
3.“ 成等差数列”是“ ”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.阅读右面的程序框图，则输出的 =
A．14 B．30 C．20 D．55
5.设 ， ， ，则它们的大小关系是
A. B. C. D.
6.将函数y=cos(x－ )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移 个单位，则所得函数图像对应的解析式是
A. B. C. D.
7.已知函数 ，若对于任意 ，都有 成立，则 的取值范围是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ.
8.已知函数 .若数列 满足 且 ，则实数 的取值范围是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
9.已知集合 ，集合 ，则集合 .
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
11.如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线， 为切点， 与 的延长线交于点 ．若 ， ，则 的长为 .
12.已知双曲线 的离心率 ，它的一条渐近线与抛物线 的准线交点的纵坐标为 ，则正数 的值为 .
13.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 .
14.已知点 为等边三角形 的中心, ,直线 过点 交边 于点 ，交边 于
点 ，则 的最大值为 .
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： ， ，…， 后得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中实数 的值；
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高
一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数；
(Ⅲ)若从样本中数学成绩在 与 两个
分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举
法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大
于10的概率.
16．（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在 中，若 , ， ，求 的值.
17.(本小题满分13分）
已知在四棱锥 中， , , ， 分别是 的中点.
(Ⅰ)求证 ；
(Ⅱ)求证 ；
(Ⅲ)若 ，求二面角 的大小.
18．（本小题满分13分）
已知数列 的首项为 ，对任意的 ，定义 .
（Ⅰ） 若 ，
(i)求 的值和数列 的通项公式；
(ii)求数列 的前 项和 ；
（Ⅱ）若 ，且 ，求数列 的前 项的和.
19．（本小题满分14分）
已知函数 ， （其中 实数, 是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求 在区间 上的最小值；
(Ⅲ) 若存在 ，使方程 成立，求实数 的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆过点 ，且它的离心率 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）与圆 相切的直线 交椭圆于 两点，若椭圆上一点 满足 ，求实数 的取值范围.
2013年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）
数学试卷（文科） 评分标准
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A B D D A C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． ；10． ； 11． ； 12． ；13． ；14．
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，…， 后得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中实数 的值；
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．
(Ⅲ)若从样本中数学成绩在 与 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率；
15．解：（Ⅰ）由
可得 …………2分
（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:
……4分
数学成绩不低于60分的人数为
人 ……5分
(Ⅲ)数学成绩在 的学生人数：
人 ……6分
数学成绩在 的学生人数：
人 ……7分
设数学成绩在 的学生为 ，
数学成绩在 的学生为 …………8分
两名学生的结果为： ，
…………10分
共 种； …………11分
其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有 ， ， ， ， ， ， 共7种， …………12分
因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为 …………13分
16．（本小题满分13分）已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在 中，若 , ， ，求 的值.
16．解：（Ⅰ） …………2分
…………4分
………………5分
由 得， ( ).，……7分
故 的单调递增区间为 ( ). ………………8分
（Ⅱ） ,则 …………9分
…………10分
又 ………………………11分
…………12分
… ……………………13分
17．(本小题满分13分）已知在四棱锥 中，
, , ，
分别是 的中点，
(Ⅰ)求证 ；
(Ⅱ) 证明 ；
(Ⅲ)若 ，求二面角 的大小.
17．(Ⅰ) 证明:由已知得 ，
故 是平行四边形，所以 ，---------1分
因为 ，所以 , ---------2分
由 及 是 的中点，得 , ---------3分
又因为 ,所以 . ---------4分
(Ⅱ) 证明:连接 交 于 ,再连接 ,
由 是 的中点及 ，知 是 的中点，
又 是 的中点，故 ， ---------5分
又因为 ，
所以 . ---------7分
(Ⅲ)解：设 ,
则 ，又 ， ，
故 即 ， ---------8分
又因为 ， ，
所以 ，得 ，故 ， ---------10分
取 中点 ，连接 ,可知 ,因此 , ---------11分
综上可知 为二面角 的平面角. ---------12分
可知 ，
故 ,所以二面角 等于 . ---------13分
18．（本小题满分13分）已知数列 的首项为 ，对任意的 ，定义 .
（Ⅰ） 若 ，
(i)求 的值和数列 的通项公式；
(ii)求数列 的前 项和 ；
（Ⅱ）若 ，且 ，求数列 的前 项的和.
18．(Ⅰ) 解：(i) , , ………………2分
.由 得
当 时，
= ………4分
而 适合上式，所以 .………………5分
(ii)由(i)得： ……………6分
……………7分
…………8分
(Ⅱ)解：因为对任意的 有 ，
所以数列 各项的值重复出现，周期为 . …………9分
又数列 的前6项分别为 ，且这六个数的和为8. ……………10分
设数列 的前 项和为 ，则，
当 时，
， ……………11分
当 时，
， …………12分
当 时
所以，当 为偶数时， ；当 为奇数时， . ……………13分
19．（本小题满分14分）已知函数 ， （其中 是实常数, 是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求 在区间 上的最小值；
(Ⅲ) 若存在 ，使方程 成立，求实数 的取值范围.
19．解：（Ⅰ）当 时 ， ┈┈1分
故切线的斜率为 ， ┈┈┈┈ 2分
所以切线方程为： ，即 . ┈┈┈┈ 3分
（Ⅱ） ，
令 ，得 ┈┈┈┈ 4分
①当 时，在区间 上， ， 为增函数，
所以 ┈┈┈┈ 5分
②当 时，在区间 上 ， 为减函数，┈┈┈┈ 6分
在区间 上 ， 为增函数，┈┈┈┈ 7分
所以 ┈┈┈┈ 8分
(Ⅲ) 由 可得
， ┈┈┈┈ 9分
令 ，
┈┈┈┈ 10分
单调递减 极小值（最小值） 单调递增
┈┈┈┈ 12分
， ，
┈┈┈┈ 13分
实数 的取值范围为 ┈┈┈┈ 14分
20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在 轴上
的椭圆过点 ，且它的离心率 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）与圆 相切的直线 交椭圆于 两点，若椭圆上一点 满足 ，求实数 的取值范围.
20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为 ┈┈┈┈┈┈┈ 1分
由已知得： 解得 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
所以椭圆的标准方程为： ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分
(Ⅱ) 因为直线 ： 与圆 相切
所以， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分
把 代入 并整理得： ┈7分
设 ，则有
┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分
因为， ， 所以， ┈┈ 9分
又因为点 在椭圆上， 所以， ┈┈┈┈┈ 10分
┈┈┈┈┈ 12分
因为 所以 ┈┈┈┈┈ 13分
所以 ，所以 的取值范围为 ┈┈┈┈ 14分
