海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准
2013．4
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C D A D B B
9．0 10．14 11.
12． 13． 14．
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（I）因为
………………2分
………………4分
………………6分所以 ………………7分
所以 的周期为 ………………9分
（II）当 时， ，
所以当 时，函数取得最小值 ………………11分
当 时，函数取得最大值 ………………13分
16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有 人………………1分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为 ………………3分
(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
………………7分
（Ⅲ）设两人成绩之和为 ，则 的值可以为16，17，18，19，20………………8分
，
，
所以 的分布列为
16 17 18 19 20
………………11分
所以
所以 的数学期望为 ………………13分
17.证明：(I) 因为 是正三角形， 是 中点，
所以 ,即 ………………1分
又因为 ， 平面 ， ………………2分
又 ，所以 平面 ………………3分
又 平面 ，所以 ………………4分（Ⅱ）在正三角形 中， ………………5分
在 中，因为 为 中点， ，所以
，所以 ，所以 ………………6分
在等腰直角三角形 中， ， ，
所以 ， ，所以 ………………8分
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ………………9分
（Ⅲ）因为 ，
所以 ，分别以 为 轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，
所以
由（Ⅱ）可知，
为平面 的法向量………………10分
，
设平面 的一个法向量为 ,
则 ，即 ，
令 则平面 的一个法向量为 ………………12分
设二面角 的大小为 ， 则
所以二面角 余弦值为 ………………14分
18. 解：（I）因为 所以 ………………2分
因为函数 在 处取得极值
………………3分
当 时， ， ，
随 的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
………………5分
所以 的单调递增区间为 ,
单调递减区间为 ………………6分
(II)因为
令 , ………………7分
因为 在 处取得极值，所以
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 在区间 上的最大值为 ，令 ，解得 ………………9分
当 ，
当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增
所以最大值1可能在 或 处取得
而
所以 ，解得 ………………11分
当 时, 在区间 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增
所以最大值1可能在 或 处取得
而
所以 ，
解得 ，与 矛盾………………12分
当 时， 在区间 上单调递增，在 单调递减，
所以最大值1可能在 处取得，而 ，矛盾
综上所述， 或 . ………………13分
1９.（本小题满分14分）
解：（I）设椭圆的焦距为 ，
因为 ， ，所以 ，所以 .
所以椭圆 ： ………………4分
（II）设 （ ， ）， ( ， )
由直线 与椭圆 交于两点 ， ，则
所以 ，则 ， ………………6分
所以 ………………7分
点 （ ，0）到直线 的距离
则 ………………9分
显然，若点 也在线段 上，则由对称性可知，直线 就是 轴，矛盾，
所以要使 ，只要
所以
………………11分
当 时， ………………12分
当 时，
又显然 , 所以
综上， ………………14分
20.解：（Ⅰ）因为 为非零整数）
故 或 ，所以点 的相关点有8个………………2分
又因为 ，即
所以这些可能值对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上………………4分
（Ⅱ）依题意 与 重合
则 ，
即 ，
两式相加得
（*）
因为
故 为奇数，
于是（*）的左边就是 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，
所以 一定为偶数………………8分
（Ⅲ）令 ，
依题意 ，
因为
………………10分
因为有 ，且 为非零整数，
所以当 的个数越多，则 的值越大，
而且在 这个序列中，数字 的位置越靠前，则相应的 的值越大
而当 取值为1或 的次数最多时， 取2的次数才能最多， 的值才能最大.
当 时，令所有的 都为1， 都取2，
则 .
当 时，
若 ，
此时， 可取 个1， 个 ，此时 可都取2， 达到最大
此时 = .
若 ,令 ,其余的 中有 个 ， 个1.
相应的，对于 ，有 ,其余的都为2，
则
当 时，令
则相应的取
则 = +
综上， ………………13分
