2013年高中毕业班第一次模拟考试
数学理科答案
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一、选择题
A卷答案
1-5 DCBCC 6-10 ADADD 11-12 AD
B卷答案
1-5 DBCBB 6-10 ADADD 11-12 AD
二、填空题
13 . 或 14 .
15 . 24 16 .
三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分)
17.解：第一步：在 中，利用正弦定理， ，
解得 ；……………4分
第二步：在 中，同理可得 ；……………8分
第三步：在 中，利用余弦定理，
…………12分 （代入角的测量值即可，不要求整理，但如果学生没有代入，扣2分）
18．解：（Ⅰ）由男生上网时间频数分布表可知100名男生中，上网时间少于60分钟的有60人，不少于60分钟的有40人，………………2分
故从其中任选3人，恰有1人上网的时间少于60分钟的概率为
……………4分
………………6分
（Ⅱ）
上网时间少于60分 上网时间不少于60分 合计
男生 60 40 100
女生 70 30 100
合计 130 70 200
……………8分
，………………10分
∵
∴没有90％的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.………………12分
19. 解：（Ⅰ）依题意 ， ， ，所以 ，……2分
而 面 ， ，又 ，∴ 面 ，
又 面 ，∴平面 平面 …………4分
（Ⅱ）
过 作 的垂线为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示坐标系，则 ， ， ,设 ，
所以 ， ，
由 ，得
解得 ， .………………6分
∴P点的坐标为 ；
面 的一个法向量为 ，……………8分
设面 的一个法向量为 ， ，
即 ，∴ ………………10分
，
所以二面角 的余弦值为 ．……………12分
20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义知 ，又 ，∴ ，即 为边 上的中线，
∴ ,……………………2分
在 中， 则 ，
∴椭圆的离心率 ．…………………4分（注：若学生只写椭圆的离心率 ，没有过程扣3分）
（Ⅱ）设 ， 因为 ， ，所以 …………6分
①当直线 轴垂直时， ， ， ,
= ， 因为 ，所以 ，
恒为钝角，
.………………………8分
②当直线 不与 轴垂直时，设直线 的方程为： ，代入 ，
整理得： ，
，
………………10分
令 ， 由 ①可知 ，
恒为钝角.，所以恒有 ．………………12分
21. 解：（Ⅰ） 在区间 上恒成立，
即 区间 上恒成立， …………………1分
.………………3分
经检验， 当a＝- 4时， ， 时， ，
所以满足题意的a的取值范围为 .………………4分
（Ⅱ）函数的定义域 ， ，依题意方程 在区间 有两个不等的实根，记 ，则有 ，
得 .……………………6分
， ， ，
，令
……………………8分
， ， ,
因为 ，存在 ，使得 ，
- 0 +
， ， ，所以函数 在 为减函数，
…………………10分
即 ……………………12分
法二:6分段后面还有如下证法，可以参照酌情给分.
【证法2】 为方程 的解，所以 ,
∵ ， ， ，∴ ,
先证 ，即证 （ ）,
在区间 内， ， 内 ，所以 为极小值， ,
即 ，∴ 成立；…………………8分
再证 ，即证 ,
,
令 ， …………………10分
,
,
， ， ,
∴ ， 在 为增函数．
．
综上可得 成立．………………………12分
22.证明:（Ⅰ）∵∠BAD＝∠BMF，
所以A,Q,M,B四点共圆，……………3分
所以 .………………5分
(Ⅱ)∵ ,
∴ ，
又 , 所以 ，……………7分
∴ ,则 ,………………8分
∵ ，
∴ ,
,
所以 .…………………10分
23.解：(Ⅰ)依题意 ………………3分
得：
曲线 直角坐标方程为： .…………………5分
(Ⅱ)把 代入 整理得：
………………7分
总成立，
，
………………10分
另解：
(Ⅱ)直线 的直角坐标方程为 ，把 代入 得：
………………7分
总成立， ，
…………………10分
24. 解：(Ⅰ) 解得
解得
解得 …………………3分
不等式的解集为 ………………5分
(Ⅱ) ；
；
；
的最小值为 ；………………8分
则 ，解得 或 .………………10分
