2013石家庄高考质检数学理科试题及答案
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2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）
高三数学（理科）
一、选择题（60分）
1、若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A B＝
A、{x|x＞－3} B、{x|－3＜x＜3}
C、{x|x＞－2} D、{x|－2＜x＜3}
2、若 ，i为虚数单位，且a＋2i＝i（b＋i），则a＋b＝
A、－1 B、1 C、2 D、3
3、双曲线3x2－y2＝12的实轴长是
A 、4 B、6 C、2 D、4
4、采用系系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1 、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间［1，160］的人做问卷A，编号落入区问［161，320］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为
A、4 B、5 C、6 D、7
5、如右图所示，程序框图输出的结果为
A、15 B、16 C、136 D、153
6、在平面直角坐标系中，不等式组 ，表示的平面区域的面积是
A、3 B、 C、6 D、9
7、如图所示，若向正方形ABCD内随机投入一质点，则所投的质点恰好落在CE与y轴及抛物线y＝x2所围成的阴影区域内的概率是
A、 B、 C、 D、
8、函数 的图象大致是
9、若 ，则 的值为
A、 B、 C、± D、±
10、已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为
A、（5,7） B、（－15,1） C、（5,10） D、（－ ,1）
11、如图，棱长为1的正方体ABC－A1B1C1D1中，E，F为A1C1上两动点，且EF＝ ，则下列结论中错误的是
A、BD⊥CE
B、△CEF的面积为定值
C、直线BC与平面CEF所成的角为定值
D、直线BE与CF所成的角为定值
12、已知单位向量e与向量a，b满足：｜a－e｜＝｜a｜，（a－b）•（b－e）＝0，对每一个确定的向量a，都有与其对应的向量b满足以上条件，设M，m分别为｜b｜的最大值和最小值，令t＝｜M－m｜，则对任意的向量a，实数t的取值范围是
A、［0,1］ B、［0， ］ C、［ ］ D［1， ］
二、填空题（20分）
13、在 的展开式中，常数项为＿＿＿＿＿（用数字作答）。
14、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为＿＿＿
15、若函数 ，则f（x）≥2的解集为＿＿＿
16、当 时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如
则S（n）＝＿＿＿＿（用关于n的代数式表示）。
三、解答题（70分）
17、（本小题满分10分）已知等差数列{ }的前n项和为 ，且 ，
（1）求数列{ }的通项公式。
（2）求数列{ }的前n项和 的最大值。
18、（本小题满分12分）
在一次抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，为测量A，B两地的距离，救援人员在相距l米的C，D两地（A，B，C，D在同一平面上），没得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°（如右图）。考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B距离的1.2倍，问救援人员至少应该准备多长的电线？
19、（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，且AB＝ ，BC＝1，点E，F分别为AB，PC中点。
（I）当PA的长度为多少时，EF⊥PD；
（II）在（I）的前提下，求二面角B－PC－D的余弦值。
20、（本小题满分12分）
为参加部队射击比赛，甲、乙两人进行了4天的集中训练，每天的射击数据如下表
甲射击数据表： 乙射击数据表：
将射击环数的频率视为概率，估计他们的比赛成绩。
（I）求甲、乙两人射击环数X1，X2的分布列，根据射击环数的期望与方差比较两人的射击水平；
（II）若射击成绩在9环以上（含9环）为成绩优秀，求甲在3次射击中至少有2次成绩优秀的概率。
21、（本小题满分12分）
已知椭圆C： 的右顶点、上顶点分别为M，N，过其左焦点F（－c，0）作垂直于x轴的直线l，且与椭圆在第二象限交于P点， 。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆的弦AB过点E（ ，0）且不与坐标轴垂直，设点A关于x轴的对称点A1，直线A1B与x轴交于点R（5,0），求椭圆C的方程。
22、（本小题满分12分）
已知函数 。
（I）若f（x）在x＝1处取得极值，求实数a的值；
（II）若f（x）≥5－3x恒成立，求实数a的取值范围。
数学（理科答案）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.
1-5ABABC 6-10DBCCB 11-12DC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 15 14. 3 15. 16.
三、解答题：
17.解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ．
由已知 ， ，
得 ，………………2分
解得 ， ．……………5分
(Ⅱ)法一：
……………8分
当 取１０或１１时， 取最大值 ．……………10分
法二： 数列 的 公差 ，
此等差数列 是首项为正数的递减数列．
当 时， ；
所以当 时，有
当 时，有 ．………………8分
综上：当 取10或11时， ．
所以 取最大值 ．………10分
18.解：依题意， ， ，
在 中， ，
根据正弦定理 ，∴ ， ……….4分
在 中， ，
根据正弦定理BD= , …………………….8分
又在 中，
根据勾股定理有
= …………………………10分
实际所需电线长度约为 ………………………….12分
19.解:（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ，
则
……………2分
又
，
所以 ，
当PA的长度为1时，EF⊥PD.………………5分
（Ⅱ）法一：在Rt 中作BN PC， .
CF=1 N为CF中点。
取ＣＤ中点Ｍ，连结ＭＮ ＭＮ//ＤＦ。
又 ＤＦ PＣ， ＭＮ PＣ 为二面角B－PC－Ｄ的平面角．…………9分
在 中 ，
cos =
二面角B－PC－Ｄ的余弦值为 .…………12分
法二：如图建立空间直角坐标系A-xyz，
则B（ ）P（ ）C（ ）D( )
则 , ,
设平面PBC的法向量
，
，令 ，则 ，……………8分
同理可得平面PCD的一个法向量 ，………………10分
则二面角B－PC－Ｄ的余弦值cos = ，……………12分
20.解：（Ⅰ） 由甲射击数据表可知，总共射击400次，其中射击7环的频数为40次，8环频数为80次，9环频数为120次，10环的频数为160次.
故
7 8 9 10
0.1 0.2 0.3 0.4
所以，甲射击环数 的分布列为
7 8 9 10
0.2 0.1 0.2 0.5
同理可计算
乙射击环数 的分布列
…………………………………4分 ;
…………………………………………………………6分
甲乙两人射击环数均值相等，甲射击环数方差比乙射击环数方差小,因此甲乙射击的平均水平没有差别，但甲发挥比乙稳定. ………………8分
（Ⅱ）甲在一次射击成绩优秀的概率
甲在3次目标射击中至少有2次成绩优秀的概率为：
0.784 …………………………12分
21.解：（Ⅰ）由椭圆方程 得M、N的坐标为M ，N ，则 ，又由 ，得
由 得 ……………….2分
椭圆的离心率为 .…………….4分
（Ⅱ）设 ，由 得 ，又 ，
则 ，于是 ．…………8分
设直线 ，则由 得
．
， ．…………10分
代入得 ．解得
所以椭圆方程为 ．…………12分
22．解：（Ⅰ）函数 定义域为 ， ．
，即 ．…………2分
经检验， 符合题意.………………….4分
（Ⅱ）设 ，则当 时， 恒成立．
，所以 ．…………6分
．方程 有一负根 和一正根 . ．其中 不在函数定义域内．
在 上是减函数，在 上是增函数．即 在定义域上的最小值为 ．………8分
依题意 ．即 ．又 ，所以 ，因为 ， 。所以 ，即 ，…………10分
令 ，则
当 时， ，所以 是增函数。所以 的解集为
所以 ．
即 的取值范围是 ．…………12分
解法二： ，即
设 ，则，
设 ，则 ，
当 时， ， 是减函数
，即 是减函数， .……………8分
当 时，先证 ，
设 ， ，
是增函数且 ， ，即 ，
当 时，
的最大值为2，
即 的取值范围是 ．………………12分
