眉山市高中2013届高三上学期第一次诊断性考试
数学（理）试题
2013.01.15
注意事项：
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5. 考试结束,将答题卡上交。
参考公式：如果事件A、B互斥,那么
如果事件A、B相互独立,那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=Cknpk(1−p)n−k.
一．选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．
1.若集合M={y|y=2x,xR},集合S={x|y=lg(x−1)}, 则下列各式中正确的是
A.M∪S=M B.M∪S=S C.M=S D.M∩S=
2.设i是虚数单位,则复数(1−i)−2i等于
A．0 B．2 C．4i D．−4i
3.下列四种说法中,错误的个数是
①集合A={0,1}的子集有3个；
②命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x1”．
③命题“xR,均有x2−3x−2≥0”的否定是:“xR,使得x2−3x−2≤0”
④“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8−S3=20,则S11的值为
A.44 B.22 C. 2203 D.88
5. 执行如图的程序框图,如果输入p=8,则输出的S=
A．6364 B. 12764 C. 127128 D. 255128
6. 已知直线m,l,平面,,且m,l,给出下列命题:①若//,则ml；②若,则m//l；③若ml,则//；④若m//l,则。其中正确命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
7. 函数f(x)=log2|x|,g(x)=−x2+2则f(x)•g(x)的图象只可能是
8.函数f(x)=Asin(x+)的图象如右图所示,为了得到g(x)=−Acosx的图像,可以将f(x)的图像
A．向右平移12个单位长度 B．向右平移512个单位长度
C．向左平移12个单位长度 D．向左平移512个单位长度
9.伦敦奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员,两队之间共需进行五场比赛,其中一场双打,四场单打,每名队员都需比赛两场(双打需两名队员同时上场比赛),要求双打比赛必须在第三场进行,若打满五场,则三名队员不同的出赛顺序安排共有
A.144 B.72 C.36 D.18
10.已知R上的连续函数g(x)满足:①当x>0时,g(x)>0恒成立(g(x)为函数g(x)的导函数);②对任意的xR都有g(x)=g(−x).又函数f(x)满足：对任意的xR都有f(3+x)=f(x−3)成立,当x[−3,3]时,f(x)=x3−3x.若关于x的不等式g[f(x)]g(a2−a+2)对x[−32−22,32−23]恒成立,则a的取值范围是
A. aR B.0a1 C. −12−334a−12+334 D. a0或a1
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡相应位置上.
11．已知平面向量a→=(3,1),b→=(x,−3),a→//b→,则x等于 −9 ;
12．设x,y满足约束条件x+y3x−y−12x−y3,若目标函数z=x2+y5的最大值为 3 ;
13. 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b−1,且a(0,3),则对于任意的bR,函数F(x)=f(x)−x总有两个不同的零点的概率是 13 ;
14. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是32,则正视图中x的值是 32 ;
15. 若对于定义在R上的函数,其图象是连续不断的,且存在常数 (R)使得f(x+)+f(x)=0对任意实数x都成立,则称f(x) 是一个“—伴随函数”. 有下列关于“—伴随函数”的结论：
①f(x)=0是常数函数中唯一个“—伴随函数”；
②f(x) = x不是“—伴随函数”；
③f(x)=x2是一个“—伴随函数”；
④“12—伴随函数”至少有一个零点.
其中不正确的序号是__①③__.(填上所有不正确的结论序号)．
三、解答题: 本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．(本小题12分)在锐角ABC中,三个内角A,B,C所对的边依次为a,b,c,设m→=(sin(4−A),1),n→=(2sin(4+1),−1),a=23,且m→•n→=−32.
(1)若b=22,求ABC的面积；
(2)求b+c的最大值.
解:m→•n→=2sin(4−A)sin(4+A)−1=2sin(4−A)cos(4−A)−1=sin(2−2A)−1=cos2A−1=−32,
cos2A=−12, ………3分
∵0<A<2,0<2A<,2A=23,A=3 ………4分
设△ABC的外接圆半径为R,由a=2RsinA得23=2R32,R=2
由b=2RsinB得sinB=22,又b<a,B=4, ………5分
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32•22+12•22=6+24, ………6分
ABC的面积为S=12absinC=12•23•22•6+24=3+3.………7分
(2)解法1：由a2=b2+c2−2bccosA,得b2+c2−bc=12, ……9分
(b+c)2=3bc+123(b+c2)2+12, ……11分
(b+c)248,即b+c43,(当且仅当b=c时取等号)
从而b+c的最大值为43. ……12分
解法2：由正弦定理得:bsinB=csinC=asinA=23sin3=4,又B+C=−A=23, ……(8分)
b+c=4(sinB+sinC)=4[sinB+sin(23−B)]=6sinB+23cosB=43sin(B+6),……10分
当B+6=2,即B=3时,b+c取得最大值43. ……12分
17．(本小题12分)我校开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响,已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率为0.12,至少选修一门的概率为0.88,用表示该学生选修课程门数和没选修门数的乘积.
(1)记“=0”为事件A,求事件A的概率；
(2)求的分布列与数学期望.
解：(1) 设该生选修甲,乙,丙课程的概率依次为P1,P2,P3,
则由题意知
P1(1−P2)(1−P3)=0.08P1P2(1−P3)=0.121−(1−P1)(1−P2)(1−P3)=0.88,解得P1=0.4P2=0.6P3=0.5, ………4分
由题意可设可能取的值为0,2,=0的意义为选三门或一门都不选。
因此P(=0)=0.40.60.5+(1−0.4)(1−0.6)(1−0.5)=0.24即为所求. ………6分
(2) =2的意义为选一门或选两门.
由事件的互斥性和独立性可知P(=2)=0.40.40.5+0.60.60.5+0.60.40.5+ 0.40.60.5+0.40.40.5+0.60.60.5=0.76. ……9分
结合(Ⅰ)(Ⅱ)可知随机变量的分布列为
0 2
P 0.24 0.76
………11分
由此可得,所求数学期望为：E=00.24+20.76=1.52. ………12分
18．(本小题12分)三棱锥P−ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,
(1)证明:平面PAB⊥平面PBC；
(2)若PA=6,PC与侧面APB所成角的余弦值为223,PB与底面ABC成60°角,求二面角B―PC―A的大小.
(1)证明：∵PA面ABC,PABC,
∵ABBC,且PA∩AB=A,
BC面PAB
而BC面PBC中,面PAB面PBC. ……5分
解:(2)过A作
则EFA为B−PC−A的二面角的平面角 ……8分
由PA=6,在RtPBC中,cosCOB=232.
RtPAB中,PBA=60.
AB=2,PB=22,PC=3
AE=PA•ABPB=62
同理：AF=2 ………10分
sinEFA=62 2 =32, ………11分
EFA=60. ………12分
另解：向量法：由题可知：AB=2,BC=1,
建立如图所示的空间直角坐标系…………(7分)
B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,2,0),P(0,2,6),
假设平面BPC的法向量为n→=(x1,y1,z1),
n→•BC→=x1=0n→•BP→=2y1+6z1=0
取z1=6可得平面BPC的法向量为n→=(0,−32,6)………(9分)
同理PCA的法向量为m→=(2,−2,0)…………………(11分)
cos<m→,n→>=m→•n→|m→|•|n→|=12,
所求的角为60° ………12分
19(本小题12分)已知函数f(x)=ax2+1x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a>0,x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,|xi|>1a(i=1,2,3).
求证:f(x1)+f(x2)+f(x3)>2a.
解：整理得：f(x)=ax+1x
(1)当a0时, f(x)的减区间为(−,0)和(0,+);
当a>0时, f(x)的减区间为(−1a,0)和(0,1a),增区间为(−,−1a)和(1a,+)………5分
(2)由条件知：x1,x2,x3中至多一个负数。 ………6分
(ⅰ)若x1,x2,x3都为正数,由(1)可知|xi|>1a时,f(|xi|)>f(1a)=2a (i=1,2,3)
f(x1)+f(x2)+f(x3)>6a>2a ………9分
(ⅱ)若x1,x2,x3中有一负数,不妨设x3<0.
∵x2+x3>0且|x3|>1a,
x2>−x3>1a
f(x2)>f(−x3)=−f(x3)(∵f(x)为奇函数)
f(x2)+f(x3)>0
f(x1)+f(x2)+f(x3)>f(x1)>f(1a)=2a ………11分
综上,f(x1)+f(x2)+f(x3)>2a. ………12分
20 (本小题13分)已知函数f(x)=lnx−kx+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)0恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)证明:i=2n lnii+1<n(n−1)4(nN*,N>1).
解:(1)f (x)=1x−k(x>0). ………1分
①当k0时,f (x)>0,f(x)的增区间为(0,+); ………2分
②当k>0时,由1x−k0得0<x1k,由1x−k0得x1k,
即当k>0时, f(x)的增区间为(0,1k],递减区间为[1k,+).………4分
(2)由(1)可知:当k0时,f(x)无最大值,不合题意, ………5分
k>0,
由(1)的②知f(x)在x=1k取得最大值.
f(x)0恒成立的条件是f(1k)=ln1k0, ………7分
解得k1.
从而,所求k的取值范围是[1,+). ………8分
(3)由(2)可得,当k=1时,f(x)=lnx−x+1<0在(1,+)上恒成立,
令x=n2,得lnn2<n2−1(n>1), ………10分
即lnnn+1<n−12. ………11分
ln23+ln34+…+lnnn+1<12[1+2+…+(n−1)]=n(n−1)4,
从而原不等式得证. ………13分
21(本小题14分)已知数列{an}中,a1=6,an+1=an+1,数列{bn},点(n,bn)在过点A(0,1)的直线l上,若l上有两点B、C,向量BC→=(1,2).
(1)求数列{an},{bn}的通项公式；
(2)设cn=2bn ,在ak与ak+1之间插入k个ck,依次构成新数列,试求该数列的前2013项之和;
(3)对任意正整数n,不等式(1+1b1)(1+1b2)•…•(1+1bn)−an−2+an00恒成立,求正数a的范围.
解:(1)∵an+1−an=1且a1=6,an=n+5 ………1分
设l上任意一点P(x,y),则AP→=(x,y−1),由已知可得AP→//BC→.
y=2x+1,又 过点(n,bn) bn=2n+1 ………4分
(2)新数列：a1,c1,a2,c2,c2,a3,c3,c3,c3, a4,…,ak,ck,…,ak+1,
共计项数：k+1+k+12•k
经估算k=62, k+1+k+12•k=2016,项数接近2013, ………5分
S2013=(a1+a2+…+a62)+(1c1+2c2+…+62c62)−2c62 ………6分
令T=1c1+2c2+…+62c62,
T=123+225+327+…+622125
4T= 125+227+ …+612125+622127
两式相减得：T=8+18521279 ………8分
S2013=6+672+8+18521279−22125=2263+8+72221259 ………9分
(3)变量分离得：a(1+1b1)(1+1b2)•…•(1+1bn)2n+3恒成立. ………10分
令g(n)= (1+1b1)(1+1b2)•…•(1+1bn)2n+3 ………11分
g(n+1)g(n)=(1+1b1)(1+1b2)•…•(1+1bn)(1+1bn+1)2n+52n+3(1+1b1)(1+1b2)•…•(1+1bn)
=2n+42n+32n+51 ………13分
{g(n)}递增数列。
a(0,g(1))=(0,4155] ………14分
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