2013黄冈高三4月模拟考试数学理科试题及答案
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黄冈市2013年高三年级4月份模拟考试
数学试题(理科)
一、 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1． 的值属于区间
A． B． C． D．
2．下列命题中，真命题是
A． 使 B．
C． 是 的充分条件 D．
3．由直线 与函数 的图象围成的封闭图形的面积为
A． B． C． D．
4．已知复数 为复数单位)是关于 的方程 为实数)的根，则 的值为
A．22 B．36 C．38 D．42
5．若直线 与曲线 相切，则实数 的值为
A．-4 B．-2 C．2 D．4
6．设某大学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性关系。根据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是
A． 与 具有正的线性关系 B．回归直线过样本点的中心
C．若该大学某女生身高增加 ，则其体重约增加
D．若该大学某女生身高为 ，则可断定其体重必为
7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为
A．20 B． C．56 D．60
8．已知直线 与双曲线C： 的渐近线交于E1、E2两点，记 ，任取双曲线C上的点P，若 ，则
A． B． C． D．
9．假设你家订了一份早报，送报人可能在早上6：30-7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00-8：00之间，则你父亲在离开家前能得到报纸的概率为
A． B． C． D．
10．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数 的零点个数为
A．4 B．6 C．8 D． 10
二、 填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分)
(一) 必考题(11-14题)
11．在△ABC中内角C＝60°， ，
则△ABC的面积S＝ .
12．执行如图所示的程序框图，若输入 的值为8，
输出的值为s，则 的展开式中 的系数
是 (用数字作答)
13．数式 中省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式= ，则 ，则 ，取正值 ，用类似方法可得 .
14．设函数 数列 是公差为 的等差数列，若 ，则① ；② .
(二)选考题(请考生在第15、16题中任选一题作答，如果全答，则按第15题作答结果计分)
15．（选修4－1，几何证明选讲）如图，在圆O中直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF DB＝ .
16．（选修4－4，坐标系与参数方程）在直角坐标系 中，曲线C1的参数方程为
（ 为参数），在以O为极点，以 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为 ，则C1与C2的交点个数为 .
三、 解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）已知向量 ，函数 的两条相邻对称轴间的距离为 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）当 时，求 的值域.
PM2.5日均值（微克/立方米）
2 8 5
3 7 1 4 3
4 4 5
6 3 8
7 9
8 6 2
9 2 5
18．（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等
于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标
准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微
克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微
克/立方米之间空气质量为二级；75微克/立方米以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.
（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望Eξ.
19．（本小题满分12分）已知数列 的前 项和 ，且 的最大值为8.
（Ⅰ）求常数 的值，并求 ；
（Ⅱ）对任意 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的前 项和 .
20．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD
所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝ CD＝2，
点M在线段EC上且不与E、C重合.
（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦
值为 时，求三棱锥M－BDE的体积.
21．（本小题满分13分）设点 ，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为 .
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线 过点F（1,0）且绕F旋转， 与圆 相交于P、Q两点， 与轨迹C相交于R、S两点，若｜PQ｜ ，求△ 的面积的最大值和最小值（ 为轨迹C的左焦点）.
22．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）求 的极值；
（Ⅱ）若对任意 使得 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）证明：对 ，不等式 成立.
黄冈市2013年高三年级4月份质量检测
数学试题参考答案（理）
一、选择题（共50分）
1—5 BCBCA 6—10 DBDCD
二、填空题（25分）
11、32 3 12、70 13、2 14、0， 15、5 16、2
三、解答题（共75分）
17、（12分）（Ⅰ）
…………………………4分
由 得
单调递增区间是 …………………………………………8分
（Ⅱ）
即 的值域是 …………………………………12分
18、（12分）（Ⅰ）15天中空气质量达到一级的有5天，
则恰有一天空气质量达到一级的概率 ………………………………4分
（Ⅱ）15天中空气质量超标的天数为5天，
………………………………8分
分布列为
0 1 2 3
…………………………………………12分
19、（12分）（Ⅰ）
…………………………………………………3分
当 时，
数列 的通项公式为 …………………………………………………6分
（Ⅱ）依题意有
…………………………………………………9分
………………………………12分
20、（12分）（Ⅰ）以 分别为 轴建立空间直角坐标系
则
的一个法向量
， 。即 ……………………………4分
（Ⅱ）依题意设 ，设面 的法向量
则 ，
令 ，则 ，面 的法向量
，解得
为EC的中点， ， 到面 的距离
…………………………………………………………8分
21、（13分）（Ⅰ）设 ，则
化简 轨迹 的方程为 ……………………4分
（Ⅱ）设 ， 的距离 ，
，将 代入轨迹 方程并整理得：
设 ，则 ，
设 ，则 上递增，
， …………………………………………………………13分
22、（14分）（Ⅰ） ， ，
， ………………………4分
（Ⅱ）
易知 ， ，设
，设 ，
，
， 上是增函数，
……………………………………………………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知： 恒成立，
令 ，
取
相加得：
…………………14分
