文科数学试题参考答案及评分标准.doc
乌鲁木齐地区2014年高三年级第二次诊断性测验
文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 C A C C D B C A B D A A
1.选C.【解析】由 得 ，故 ，∴ .
2.选A.【解析】∵ ， 的充要条件是
.
3.选C.【解析】由题意得， 解得 ， ，又 ，
∴ ，∴ .
4.选C.【解析】，该几何体的直观图为右图所示
∴ .
5.选D.【解析】∵ 是偶函数，∴ ，
∴ ，令 ， .
6.选B.【解析】循环体执行第一次时： ；执行第二次时： ；
执行第三次时： ，∴输出 .
7.选C.【解析】当向量 两两成 角时， ；当 两两成 角时，∵ ，∴
8.选A.【解析】根据题意有 ，∴点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线， ，点 的轨迹方程为 .
9.选B.【解析】∵ 过 ，∴ ，又 ，∴ ，
∵ 过 ，∴ ，∴ ，或 ，即 ，或 ，又 ，选B.
10.选D.【解析】∵ ， ，∴ ，
∴ ，由 ，得 或 .
11.选A.【解析】∵ ，当 时，有
∴ ，即，当 时， 越大， 的值越小， ，∴ .
12.选A.【解析】设 ， ，由 过焦点 ，易得 ， ，则有 ，同理 ，将 点代入直线方程 ，有 ，两边同乘 ，得 ，
又 ， ，所以 ，同理 ，故所求直线为 ．
二、填空题 :共4小题，每小题5分，共20分.
13.填 .【解析】依题意有 ，
两式相减得， ，∴ .
14.填 .【解析】由图可知， .
15.填 .【解析】根据题意有 ，当 时， ，∴ ，
∴ ，即 ，此时， .
16.填 .【解析】设半径为 的球内接直三棱柱 的上下底面外接圆的圆心分别为 ，则球心 在线段 的中点处，连接 ，
则 ，在 中， ，∴ ， ，∴ ，∴ ，∴此球的表面积等于 .
三、解答题（共6小题，共70分）
17.（本小题满分12分）
（Ⅰ）在 中， ，
，
， …6分
（Ⅱ）由 ， ，得
而
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即 时， …12分
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）在梯形 中，∵ ∥ ，∴ ，
又 ，∴ ∥ ∥
在 中，∵ ， ，∴ ∥
∴平面 ∥平面 ； …6分
（Ⅱ）在 中，
∴ ，即 ，又平面 ⊥平面
∴ ⊥平面 ，又由（Ⅰ）知 ∥ ，∴ ⊥平面
且
在梯形 中， ，
，∴ ，
∴ 的面积
∴几何体 的体积 …12分
19.（本小题满分12分）
将 个红球，分别记为 ， 个黑球分别记为 ，一次取 个球，共有如下 ； ； ； ； ； ； ； ； ； ， 种情形
（Ⅰ）取出的 个球中有 个红球，有 ； ； ； ； ； ， 种情形，故概率为 ； …6分
（Ⅱ）取出的 个球中红球数多于黑球数， ； ； ； ；
； ； ， 种情形，故概率为 ． …12分
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）根据题意有 ，又 ，解得
∴椭圆 的方程为 …5分
（Ⅰ）不妨设 为椭圆 的右焦点
当直线 的斜率 存在时， 的方程为 …⑴，
设 ， ，把⑴代入椭圆的方程，得关于 的一元二次方程：
…⑵
∵ ， 是方程⑵的两个实数解，∴ …⑶
又 ，
∴ ，同理 ，
∴ …⑷
把⑶代入⑷得， …⑸
记 为直线 的倾斜角，则 ，由⑸知 …⑹
当 的斜率不存在时， ，此时 的坐标可为 和
或 和 ，∴ …⑺
由⑹⑺知，当直线 的倾斜角为 时 …⑻
同理，记直线 的倾斜角为 时 …⑼
由 得， ，
，∴ 或 ，依题意 ，∴
当 时，
…⑽
当 时， …⑾
由⑽、⑾知当直线 的倾斜角为 时， …⑿
同理， …⒀
由⑿、⒀知，四边形 的面积为
令 ，∵ ，∴
则
∵ ， ∴ ，当 ，或 时， ，
递增，当 时， ， 递减，
∴当 时， 取最大值，即
∴当 时，四边形 的面积 …12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）当 时，令 ，则
当 时， ，∴函数 在区间 上为增函数，
当 时， ，∴函数 在区间 上为减函数，
∴ ，即 ， …⑴，
∴ 时， ， ，故，由 ， 成立； …5分
（Ⅱ）已知 ， ，
则 …⑵
由⑴知 时，且 时， ，故 ，即 …⑶
ⅰ）当 时，由⑵和 知
则当 时，函数 的增区间为 和
ⅱ）当 时， ，由⑵，令 ，则 …⑷
令 ，得 ，当 时， ；当 时， ；
∴函数 的减区间为 ，增区间为
∴函数 …⑸
当 时， …⑹
根据函数 ， 为增函数，和函数零点定理及⑸⑹知，存在 ，使得 ，若 ，由 ，得 ，这与 矛盾，∴ ，或 ．当 时，对 ，由函数 在 为增函数，得 ，从而 ，∴函数 ， 为减函数，∴ 不符合题意
当 时，对 ，同理， ，从而 ，
∴函数 ， 为减函数，∴ 不符合题意
ⅲ）当 时，由⑷和 ，知 ，∴函数 ， 为减函数
当 ，∴ ，∴ ，即
∴ ，∴
∴函数 ， 为减函数，∴ 不符合题意；
综上可知，函数 的增区间为 和 时，实数 ． …12分
22．选修4—1：几何证明选讲
（Ⅰ）连接 ，因为四边形 是圆的内接四边形，
所以 ，又 ，
所以 ∽ ，即有 ，
又 ，所以 …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ） ∽ ，知 ，
又 ，∴ ， ∵ ，∴ ，而 是 的平分线∴ ，设 ，根据割线定理得
即 ，解得 ，即 …10分
23．选修4－4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）直线 的方程为 圆 的方程是
圆心到直线的距离为 ，等于圆半径，
∴直线 与圆 的公共点个数为 ； …5分
（Ⅱ）圆 的参数方程方程是 ∴曲线 的参数方程是
∴
当 或 时， 取得最大值
此时 的坐标为 或 …10分
24.选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）∵ .
因此只须解不等式 .
当 时，原不式等价于 ，即 .
当 时，原不式等价于 ，即 .
当 时，原不式等价于 ，即 .
综上，原不等式的解集为 . …5分
（Ⅱ）∵
又 0时，
∴ 0时， . …10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.
