2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准
2013乌鲁木齐三模数学理科试题答案下载！
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选 项 B A D D C D B C C C B C
1．选B【解析】∵ ，∴ ；
∵ 或 ，∴ ， ．
2．选A【解析】依题意有 ， ，即 ，∴ ．
3．选D【解析】依题意有 ，对任意 都成立，∴
，或 ，即 ，又 ，故 ．
4．选D【解析】∵ ， ，问题转化为求 的最大值，实数 满足条件 ，作出其可行域，可知当且仅当 时， ，
∴ ．
5．选C【解析】 门不同的考试安排在 天之内进行共有 种方案，其中考试安排在连续两天有 种方案，故符合题意的安排方案有 种．
6．选D【解析】由 ，
∴ ．
7．选B【解析】对①，当 ， 不存在；对②，任意的 ，存在唯一个 （ ）使 成立；对③，当 ， 不存在；对④，当 ， 不存在；
8．选C【解析】此几何体如图所示，
∴ ．
9．选C【解析】设 ，由此框图得
．由 ．
10．选C【解析】∵ ，又 ，
∴ ．
11．选B【解析】依题意 三点不可能在同一直线上∴
，又由 得 ，于是
，记 ．则
可知
，且 无最大值，故 的取值范围为 ．
12．选C【解析】∵ ，由零点存在条件，可知在区间 , 分别存在零点，记为 ，不妨设 ，可以得到 ，
又由 ， ，
故 ， ．两式相减，得
，即 ，
故 ，所以 ．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．填 【解析】∵ ，∴ ，故 ．
14．填 【解析】当 时， ；当 时，由 及
，得 易知， ，∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 ，∴ ，∴ ．
15．填 或 【解析】设 ，根据题意有 ，化简后得 或 （无解），解得 或 ，∴点 的坐标为 或 ．
16．填 【解析】设此正方体的棱长为 ，则球 的直径为 ，半径为 ，与此正方体的表面及球 的球面都相切的最大的球的直径为 ，半径为 ，故所有与此正方体的表面及球 的球面都相切的最大的球的体积之和与球 的体积之比
： ．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．（Ⅰ）当 时，∵ ，∴ ．
关于 对称，又 ，
∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ， ．
∴ ； …6分
（Ⅱ）∵ ，∴ ．
关于 对称，又 ，
∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
即 ，故 ． …12分
18．（Ⅰ）由 为菱形， ，知 为正三角形．
∵ 是 的中点，∴ ， ∥ ，则 ．
又 ， ，∴ 平面 ，
则 为 与平面 所成的角，
在 中，因为 ，
所以当 最短，即 时， 最大，
此时，由 ，得 ，
∴ ．
∴ 与平面 所成最大角的正切值为 ； …6分
（Ⅱ）以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有 ，
．
故 ．
设平面 的法向量为 ，
则
取 ，则 ，
由 ， 知 平面 ，
故 为平面 的法向量，又 ，
则 ，
又二面角 为锐角，故所求二面角的余弦值为 ． …12分
19．（Ⅰ）设第 组的频率为 ， 由频率分布图知
．
所以成绩在 分以上的同学的概率 ≈ ，
故这 名同学中，取得面试资格的约为 人； …4分
（Ⅱ）成绩在 分以上的同学的人数约为 (人) ．
设 人中三题都答对的的人数为 ，则 ，
所以，获得 类资格的人数约为 人；
设 人中三题都答错的的人数为 ，则 ，
所以，获得 类资格的人数约为 (人) ． …12分
20．（Ⅰ）由 得 不妨设 ，左焦点为 ．
，由直线 过左焦点 ，且倾斜角为 ，可得 ，
所求椭圆 的方程为 ； …5分
（Ⅱ）设 ， ．
（ⅰ）当 时，有 轴，此时 ， ，
，又 ，∴ ，
，∴ ，于是 ．
∴ ，故 ．
（ⅱ）当 时，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ，记 ，直线 的方程为 ，
点 、 满足 ．
∴ ， ．
∴ ，
．
①若 ， 中有一个不存在时，不妨设 不存在，即 轴，此时 ．
∵ ，∴ ， ， 共线，可知 ，∴ ∥ 轴，故 ．
②若 ， 都存在．
，由 及 ，
代入此式，化简后得 ，故 ．
综上所述， ． …12分
21．（Ⅰ） ．
设 ， ．
（1）当 时， 无意义，∴ ．
（2）当 时， 的定义域为 ．
令 ，得 ， ， 与 的情况如下：
↘
↗
↘
，∴ ．
，∴ ．
故 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．
（3）当 时， 的定义域为 ．
令 ，得 ， ， 与 的情况如下：
↗
↘
↗
，∴ ．
，∴ ．
所以 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．…5分
（Ⅱ）（1）当 时，由（Ⅰ）可知， 在 单调递增，在 单调递减，所以 在 上存在最大值 ．下面研究最小值：
由于 的定义域为 ．
①若 ，即 时，结合 的定义域可知 在 上没有最小值，不合题意．
②若 ，即 时，∵在 单调递增，∴ 在 存在最小值 ；∵ 在 单调递减，∴ 在 不存在最小值．
所以，要使 在 上存在最小值，只可能是 ．
计算整理 ．
要使 在 上存在最小值，需且只需 ，
．
∵ ，则问题转化为 ， 恒成立．
设 ，则需且只需 ，或 ．可解得：
，这与 相矛盾，∴ 在 上没有最小值，不合题意．
（2）当 时，由于 的定义域为 ．
①若 ，即 时， 在 上没有意义，也不存在最大值和最小值．
②若 ，即 时，由（Ⅰ）可知 在 单调递减， 存在最大值，但不存在最小值．
综上，不存在 的值，使得 在 上既存在最大值又存在最小值．…12分
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
（Ⅰ）设 ，则 ，由切割线定理 ，
即 ， ，∴ ，
在 中， ，故 ．
而 ，即 ，
∴ ，即 ； …5分
（Ⅱ）设 交 于 ，在 中，∵ ∥ ，∴
又 ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ∽ ，
．∵ ，∴ ． …10分
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）由 （ 为参数）及 得 ，消去 ，得
，即为曲线 的普通方程； …5分
（Ⅱ）以直角坐标系 的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
不妨设 ，代入 的极坐标方程，有
， ，
设点 到直线 的距离为 ，则
（定值）． …10分
24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ） ； …5分
（Ⅱ）由 ，
(ⅰ)若 ，∵ ，有 ，不等式恒成立，此时不等式的解集为 ；
（ⅱ）若 ，不等式等价于
或 或
解得 ，或 ．
综上，当 时，解集为 ；当 时，解集为 ．…10分
以上各题的其它解法，限于篇幅从略.请相应评分.
