2013年湖南省初中毕业学业考试标准
数学
一、考试指导思想
初中毕业数学学业考试是依据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准》）进行的义务教育阶段数学学科的终结性考试。考试要有利于全面贯彻国家教育方针，推进素质教育；有利于体现九年义务教育的性质，全面提高教育质量；有利于数学课程改革，培养学生的创新精神和实践能力；有利于减轻学生过重的课业负担，促进学生生动、活泼、主动地学习。
数学学业考试命题应当根据学生的年龄特征、思维特点、数学背景和生活经验编制试题，面向全体学生，使具有不同认知特点、不同数学发展程度的学生都能正常表现自己的学习状况。学业考试要求公正、客观、全面、准确地评价学生通过初中教育阶段的数学学习所获得的发展状况。
数学学业考试要重视对学生学习数学“双基”的结果与过程的评价，重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价，重视对学生数学认识水平的评价；学业考试试卷要有效发挥选择题、填空题、计算（求解）题、证明题、开放性问题、应用性问题、阅读分析题、探索性问题及其它各种题型的功能，试题设计必须与其评价的目标相一致，加强对学生思维水平与思维特征的考查，使试题的解答过程体现《数学课程标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、猜测、验证、推理等等。
二、考试内容和要求
（一）考试内容
数学学业考试应以《数学课程标准》所规定的四大学习领域，即数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用的内容为依据，主要考查基础知识、基本技能、基本体验和基本思想。
1．基础知识与基本技能
了解数的意义，理解数和代数运算的算理和算法，能够合理地进行基本运算与估算；能够在实际情境中有效地使用代数运算、代数模型及相关概念解决问题。
能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征；能够在头脑里构建几何对象，进行几何图形的分解与组合，能够对某些图形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。
正确理解数据的含义，能够结合实际需要有效地表达数据特征，会根据数据结果做合理的预测；了解概率的含义，能够借助概率模型或通过设计活动解释事件发生的概率。
使用计算器灵活地处理数值计算问题和从事有关探索规律的活动。
2. 数学活动过程
包括数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究的意识、能力和信心等。也包括能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的语言有条理地表达数学的思考过程。
3．数学思考
学生在数感与符号感、空间观念、统计意识、推理能力、应用数学的意识等方面的发展情况，其内容主要包括：
能用数来表达和交流信息；能够使用符号表达数量关系，并借助符号转换获得对事物的理解；能够观察到现实生活中的基本几何现象；能够运用图形形象地表达问题、借助直观进行思考与推理；能意识到做一个合理的决策需要借助统计活动去收集信息；面对数据时能对它的来源、处理方法和由此而得到的推测性结论做合理的质疑；能正确地认识生活中的一些确定或不确定现象；能从事基本的观察、分析、实验、猜想和推理的活动，并能够有条理地、清晰地阐述自已的观点。
4．解决问题
能从数学角度提出问题、理解问题、并综合运用数学知识解决问题；具有一定的解决问题的基本策略；能合乎逻辑地与他人交流；具有初步的反思意识。
5．对数学的基本认识
形成对数学内容统一性的认识（不同数学知识之间的联系、不同数学方法之间的相似性等）；深化对数学与现实或其他学科知识之间联系的认识等等。
（二）考试要求
1．《数学课程标准》规定了初中数学的教学要求
（1）使学生获得适用未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；
（2）初步学会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；
（3）体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；
（4）具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。
2．《数学课程标准》阐述的教学要求具体分以下几个层次
知识技能要求：
（1）了解：能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征（或意义）；能根据对象的特征，从具体情境中辨认出这一对象。
（2）理解：能描述对象特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。
（3）掌握：能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中去。
（4）运用：能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。
过程性要求：
（5）经历（感受）：在特定的数学活动中，获得一些初步的感受。
（6）体验（体会）：参与特定的数学活动，在具体情境中认识对象的特征，获得一些经验。
（7）探索：主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系。
这些要求从不同角度表明了数学学业考试要求的层次性。
（三）具体内容与考试要求细目列表
（表中“目标要求”栏中的序号和“（二）2.”中的规定一致）
具 体 内 容 知识技能要求 过程性要求
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
数 与 式 有理数的意义，用数轴上的点表示有理数 √
相反数、绝对值的意义 √
求相反数、绝对值，有理数的大小比较 √
乘方的意义 √
有理数加、减、乘、除、乘方及简单混合运算（三步为主），运用运算律进行简化运算 √
运用有理数的运算解决简单问题 √
对含有较大数字的信息作出合理解释 √
平方根、算术平方根、立方根的概念及其表示 √
用平方运算求某些非负数的平方根，用立方运算求某些数的立方根，用计算器求平方根与立方根 √
无理数与实数的概念，实数与数轴上的点的一一对应关系 √
用有理数估计一个无理数的大致范围 √
近似数与有效数字的概念 √
用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值 √
二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则 √
实数的简单四则运算（不要求分母有理化） √
用字母表示数，列代数式表示简单问题的数量关系 √
代数式的实际意义与几何背景 √
求代数式的值 √
整数指数幂及其性质 √
用科学记数法表示数（含计算器） √
整式的概念（整式、单项式、多项式） √
整式的加、减、乘（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）运算 √
乘法公式及计算 √
因式分解的概念 √
用提公因式法、公式法（直接用公式不超过2次）进行因式分解 √
分式的概念 √
约分、通分 √
简单分式的运算（加、减、乘、除） √
方程与不等式 方程（组）的解的检验 √
估计方程的解 √
一元一次方程及解法 √
二元一次方程组及解法 √
可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过2个）及解法 √
一元二次方程及其解法 √
根据具体问题中的数量关系列方程（组）并解决实际问题 √ √
根据具体问题中的数量关系列不等式（组）并解决简单实际问题 √
不等式的基本性质 √ √
解一元一次不等式（组） √
用数轴表示一元一次不等式（组）的解集 √
函
数 简单实际问题中的函数关系的分析 √
具体问题中的数量关系及变化规律 √
常量、变量的意义 √
函数的概念及三种表示法 √
简单函数及简单实际问题中的函数的自变量取值范围，函数值 √
使用适当的函数表示法，刻画实际问题中变量之间的关系 √
结合对函数关系的分析，预测变量的变化规律 √
一次函数及表达式 √ √
一次函数的图象及性质 √ √
正比例函数 √
用图象法求二元一次方程组的近似解 √
用一次函数解决实际问题 √
反比例函数及表达式 √ √
反比例函数的图象及性质 √ √
用反比例函数解决实际问题 √
二次函数及表达式 √ √
二次函数的图象及性质 √
确定二次函数图象的顶点、开口方向及其对称轴 √
用二次函数解决简单实际问题 √
用二次函数图象求一元二次方程的近似解 √
图形的认识 点、线、面 √
角的大小比较、估计，角的和与差的计算 √
角的单位换算 √
角平分线及其性质 √
补角、余角、对顶角 √
垂直、垂线段概念及性质，点到直线的距离 √ √
线段垂直平分线及性质 √
平行线的性质 √ √
平行线间的距离 √ √
画平行线 √
三角形的有关概念 √
画任意三角形的角平分线、中线、高 √
三角形的稳定性 √
三角形中位线的性质 √ √
全等三角形的概念 √
两个三角形全等的条件 √ √
等腰三角形的有关概念 √
等腰三角形的性质及判定 √ √
等边三角形的性质及判定 √
直角三角形的概念 √
直角三角形的性质及判定 √ √
勾股定理及其逆定理的运用 √ √
多边形的内角和与外角和公式 √ √
正多边形的概念 √
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念 √
平行四边形的性质及判定 √ √
矩形、菱形、正方形的性质及判定 √ √
等腰梯形的有关性质和判定 √ √
线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及其物理意义 √ √
平面图形的镶嵌，镶嵌的简单设计 √ √
图形的认识 圆及其有关概念 √
弧、弦、圆心角的关系 √
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 √ √
圆的性质，圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征 √ √
三角形的内心与外心 √
切线的概念 √
切线的性质与判定 √ √
弧长公式，扇形面积公式 √
圆锥的侧面积和全面积 √
基本作图 √
利用基本作图作三角形 √
过平面上的点作圆 √ √
尺规作图的步骤（已知、求作、作法） √
图形与变换 基本几何体的三视图 √
基本几何体与其三视图、展开图之间的关系 √
直棱柱、圆锥的侧面展开图 √
物体阴影的形成，根据光线的方向辨认实物的阴影 √
中心投影和平行投影 √
轴对称的基本性质 √ √
利用轴对称作图，简单图形间的轴对称关系 √ √
基本图形的轴对称性及其相关性质 √ √
轴对称图形的欣赏与设计 √
平移的概念，平移的基本性质 √ √
利用平移作图 √
旋转的概念，旋转的基本性质 √ √
平行四边形、圆的中心对称性 √
利用旋转作图 √
图形之间的变换关系（轴对称、平移与旋转） √
平移、旋转在现实生活中的应用 √ √
用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计 √
比例的基本性质，线段的比，成比例线段，黄金分割 √
图形的相似 √
相似图形的性质 √ √
两个三角形相似的性质及判定，直角三角形相似的判定 √ √
位似及应用 √
相似的应用 √
锐角三角函数（正弦、余弦、正切） √
特殊角（30、45、60）的三角函数值 √
使用计算器求已知锐角三角函数的值，由已知三角函数值求它对应的锐角 √
三角函数的简单应用 √
图形与坐标 平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标 √
建立适当的直角坐标系描述物体的位置 √
图形的变换与坐标的变化 √ √
用不同的方式确定物体的位置 √
图形与证明 证明的必要性 √
定义、命题、定理的含义，互逆命题的概念 √
反例的作用及反例的应用 √
反证法的含义 √
证明的格式及依据 √
全等三角形的性质定理和判定定理 √
平行线的性质定理和判定定理 √
三角形的内角和定理及推论 √
直角三角形全等的判定定理 √
角平分线性质定理及逆定理 √
垂直平分线性质定理及逆定理 √
三角形中位线定理 √
等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理 √
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理 √
等腰梯形的性质和判定定理 √
统 计 数据的收集、整理、描述和分析，用计算器处理较复杂的统计数据 √
总体、个体、样本的概念 √ √
扇形统计图 √
选择合适的统计量表示数据的集中程度 √
加权平均数 √
一组数据的离散程度的表示，极差和方差的计算 √ √
频数、频率的概念 √
列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并解决简单实际问题 √
频数分布的意义和作用 √
用样本估计总体的思想，用样本的平均数、方差估计总体的平均数和方差 √ √
根据统计结果作出合理的判断和预测，统计对决策的作用 √ √
应用统计知识与技能，解决简单的实际问题 √
概 率 概率的意义 √
用列举法求简单事件的概率 √
通过实验，获取事件发生的频率，大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值 √
通过实验丰富对概率的认识，并解决一些实际问题 √
课题学习 “问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程 √
数学知识之间的内在联系，对数学的整体认识 √
获得一些研究问题的方法和经验，数学知识在实际问题中的应用 √
通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心 √
三、试卷结构和考试形式
(一)试卷结构
（1）填空题：8-10小题，占分比例约为20%；
（2）选择题：8-10小题，占分比例约为20%；
（3）解答题：8-10个小题，占分比例约为60%，解答题包括计算题、证明题、应用性问题、实践操作题、拓展探究题等不同形式。命题时应设计结合现实情境的开放性、探索性问题，杜绝人为编造的繁难计算题和证明题。
(二)试题难度
试卷整体难度控制在0.70-0.80之间，容易题约占70%，稍难题约占15%，较难题约占15%。
(三)试题比例
1. 各能力层级试题比例:了解约占10%，理解约占20%，掌握约占60%，灵活运用约占10%。
2. 各知识板块试题比例:数与代数约占50%，空间与图形约占35%，统计与概率约占15%，考试内容覆盖面要求达到《课程标准》规定内容的80%。
（四）考试形式
初中毕业数学学业考试采用闭卷笔试形式。各地应重视现代信息技术在数学考试形式改革中的作用，利用现代信息技术设计考试形式。
四、题型示例
（一）选择题
例1 现有3cm, 4cm, 7 cm, 9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
例2 一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为
A． B.
C． D.
【答案】C
例3 为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则下列说法正确的是
A．甲秧苗出苗更整齐 B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐 D．无法确定
【答案】A
例4 若图4-1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图4-2，再将图4-2中的每一段作
类似变形，得到图4-3，按上述方法继续下去得到图
4-4，则图4-4中的折线的总长度为（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】D
（二）填空题
例5 如果点 在一次函数 的图像上，则 .(填“>”,“或“=”)
【答案】 >
例6 如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有正三角形、圆、平行四边
形和正五边形．小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，则摸出的图形是中心对称图形的概率是 ．
A B C D
【答案】
例7 我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ．
【答案】21
（三）解答题
例8 计算： .
【答案】原式= .
例9 如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG= ，在E处测
∠AFG= ，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字， 1.732）.
【答案】如图所示,
因为∠DAF=∠AFG-∠ADF= =∠ADF，
所以AF=DF=8.
在Rt△AFG中，AG=AFsin = .
所以AB=AG+GB
= （米）
答：这棵树AB的高度约为8.4米.
例10 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且
AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．
【答案】因为四边形ABCD是等腰梯形，
所以∠B＝∠C.
又GF＝GC，∠GFC＝∠C.
所以∠B＝∠GFC，AB∥GF即AE∥GF.
又AE＝GF，
所以四边形AEFG是平行四边形.
例11 学校为了调查学生对教学的满意程度，随机抽取了部分学生作问卷调查：用“A”表示“很满意”，“B”表示“满意”，“C”表示“比较满意”，“D”表示“不满意”，如图是工作人
员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了多少名学生？
（2）将图10甲中“B”部分的图形补充完整；
（3）如果该校有学生1000人，请你估计该校学生对教学感到“不满意”的约有多少人?
【答案】（1）200人；
（2）如下图所示；
（3）50人 .
例12 如图所示，已知二次函数 的图象过点A(2，0)和B(4，3)， 为过点 且与 轴平行的直线，P(m，n)是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数 的解析式；
（2）请直接写出使 的对应的x的取值范围；
（3）对于当 ， 和 时，
分别计算|PO|2和|PH|2的值，由此观察其规律，并猜想一个结论．证明对于任意实数 ，此结论成立；
（4）试问是否存在实数 可使△POH为
正三角形，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）∵抛物线 经过点 和
∴
∴
∴
（2）当 时，
（3）当 时，
；
当 时， ，此时 ， ；
当 时， ，此时 ， ．
猜想：不论m为何值，均有 ．
证明：∵P（m,n）在 的图象上
∴
∴
即
（4）存在．
理由：因为由（3）可知不论m为何值，均有 ，即 ，
故要使△POH为正三角形，只需 ，即x轴平分PH即可，
故 ，即 ，解得 ．
