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荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试
数 学（理）
本试卷共4页，21题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合 ，则
A． B． C． D．
2．下列命题中，真命题是
A． ，使得 B．
C． D． 是 的充分不必要条件
3．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
4．对于函数 若 ，则函数 在区间 内
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
5．设 , 对于使 成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做 的上确界. 若 ，且 ，则 的上确界为
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为
A． B． C． D．
7．点 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则 的最大值是
A． B． C． D．
8. 在直角坐标平面上， , 且 与 在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为
A． B． C． 或 D．
9．对于一个有限数列 ， 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为 ，其中 ．若一个99项的数列（ 的蔡查罗和为1000，那么100项数列 的蔡查罗和为
A．991 B．992 C．993 D．999
10．设双曲线 的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线 交两渐近线于 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，若 ， ，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)
11．已知函数 ，若 ，则 ▲ ．
12．由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．
13．若函数 在其定义域内的一个子区间 内存在极值，则实数 的取值范围 ▲ ．
14．在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．如果 的力能使弹簧伸长 ，则把弹簧从平衡位置拉长 （在弹性限度内）时所做的功为 ▲ （单位：焦耳）.
15．已知：对于给定的 及映射 ，若集合 ，且 中所有元素在B中对应的元素之和大于或等于 ，则称 为集合 的好子集．
①对于 ，映射 ，那么集合 的所有好子集的个数为 ▲ ；
②对于给定的 ， ，映射 的对应关系如下表：
1 2 3 4 5 6
f(x) 1 1 1 1 1 y z
若当且仅当 中含有 和至少 中3个整数或者 中至少含有 中5个整数时， 为集合 的好子集，则所有满足条件的数组 为 ▲ ．
三 、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
已知向量 ，设函数 ．
（Ⅰ）求 在区间 上的零点；
（Ⅱ）在△ 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求 的取值范围．
17．（本小题满分12分）
已知等比数列 满足： ，且 是 的等差中项.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}是单调递增的，令 ， … ，求使 成立的正整数 的最小值．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， , 点 是 的中点， ，且交 于点 ．
（Ⅰ）求证: 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 ⊥平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值．
19．（本小题满分12分）
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是 （单位:万元）．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位:万元）随投资收益 （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过 万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型 制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型： ； ．试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
20．（本小题满分13分）
如图，已知圆E: ，点 ，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹 的方程；
（Ⅱ）设直线 与(Ⅰ)中轨迹 相交于 两点, 直线 的斜率分别为 (其中 )．△ 的面积为 , 以 为直径的圆的面积分别为 ．若 恰好构成等比数列, 求 的取值范围．
21．(本小题满分14分)
设函数 ， ．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若存在 ，使得 成立，求满足条件的最大整数 ；
（Ⅲ）如果对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
荆门市2014-2015学年度高三年级元月调研考试
数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）
1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. A 7.B 8. C 9. D 10. A
二、填空题（每小题5分，5小题共25分）
11． ； 12． ； 13． ； 14． ； 15．①5，② .
三、解答题:(本大题共6小题，共75分)
16．因为 ，函数 ．
所以 ………………………2分
………………………4分
（Ⅰ）由 ，得 ．
，或
，或 ………………………6分
又 ， 或 ．
所以 在区间 上的零点是 和 ． ………………………8分
（Ⅱ）在△ 中， ，所以 ．
由 且 ，得 从而 ……………10分
， ． ………………12分
17. （Ⅰ）设等比数列 的首项为 ，公比为
依题意，有 ，代入 ，可得 ，………2分
， 解之得 或 …………4分
当 时， ； 当 时， ．
数列 的通项公式为 或 ． …………………6分
(Ⅱ)∵等比数列{an}是单调递增的， ， ，
③ ………………………8分
④ 由③－④，得
………………………10分
即 ，即
易知：当 时， ，当 时，
故使 成立的正整数 的最小值为5. ……………………12分
18.(选修2一1第109页例4改编)
方法一：（Ⅰ）证明：连结 交 于 ，连结 ．
是正方形，∴ 是 的中点．
是 的中点，∴ 是△ 的中位线．
∴ ． ………………………2分
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ． ………………………4分
（Ⅱ）证明：由条件有
∴ 平面 ，且 平面 ∴
又∵ 是 的中点，∴
∴ 平面 平面 ∴ ……………6分
由已知 ∴ 平面
又 平面 ∴平面 平面 ……………………8分
（Ⅲ）取 中点 ，则 ．作 于 ，连结 ．
∵ 底面 ，∴ 底面 ．
∴ 为 在平面 内的射影．
∵ ,∴ ．
∴ 为二面角 的平面角． ………………………10分
设 ，在 中， ，
∴ ．
∴ 二面角 的余弦的大小为 ． ………………………12分
方法二：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系
，由 ,可设 ，则
．
， ，
,即有 …6分
又 且 ．
平面 ． 又 平面
∴平面 ⊥平面 ． ………………………8分
（Ⅲ） 底面 ，∴ 是平面 的一个法向量， ．
设平面 的法向量为 ,
, 则 即 , ∴
令 ,则 ． ……………………10分
, 由作图可知二面角 为锐二面角
∴二面角 的余弦值为 ． ………………………12分
19．（本小题满分12分）(必修一第127页例2改编)
（Ⅰ）设奖励函数模型为 ，则该函数模型满足的条件是：
①当 时， 是增函数；
②当 时， 恒成立；
③当 时， 恒成立． ………………………5分
（Ⅱ）（1）对于函数模型 ，它在 上是增函数，满足条件①；
但当 时， ，因此，当 时， ，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求． ………………………7分
（2）对于函数模型 ，它在 上是增函数．满足条件①
时 ，即 恒成立．满足条件②…9分
设 ，则 ，又
，所以 在 上是递减的，因此
，即 恒成立．满足条件③
故该函数模型符合公司要求
综上所述，函数模型 符合公司要求． ………………………12分
20．(选修2一1第49页习题第7题改编)
（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4 ，
故动点Q的轨迹 是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………………2分
设其方程为 ，可知 ， ，则 ，……3分
所以点Q的轨迹 的方程为 ． ………………………4分
(Ⅱ)设直线 的方程为 ， ，
由 可得 ，
由韦达定理有：
且 ………………………6分
∵ 构成等比数列， = ，即：
由韦达定理代入化简得： ．∵ ， ． ………………………8分
此时 ，即 ．又由 三点不共线得
从而 ．
故
……………………………………10分
∵
则
为定值． ……………………12分
当且仅当 时等号成立．
综上： 的取值范围是 ． ……………………13分
21. (Ⅰ) , 定义域（0， ） ……………………1分
①当 时， ，函数 在 上单调递增, …………………2分
②当 时， ，函数 的单调递增区间为 .
，函数 的单调递减区间为 . …………4分
(Ⅱ)存在 ，使得 成立,
等价于 . ……………………5分
考察
0
3
+ 0 - 0 +
递增
递减
递增 15
……………7分
由上表可知 ，
，
所以满足条件的最大整数 ． ……………………9分
（Ⅲ）当 时，由（Ⅱ）可知， 在 上是减函数，
在 上增函数，而
的最大值是1. ……………………………………10分
要满足条件，则只需当 时， 恒成立,
等价于 恒成立,
记 ， ， .…………11分
当 时, 即函数 在区间 上递增，
当 时, 即函数 在区间 上递减，
取到极大值也是最大值 ． ………………………13分
所以 . ……………………14分
另解:设 ，
由于 ，
所以 在 上递减，又
当 时， 时 ，
即函数 在区间 上递增，在区间 上递减， ……………13分
所以 ，所以 . ………………………14分
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