浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试
高三数学 2015.1
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.
2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1．不等式 的解为 .
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 .
3．关于 的方程 表示圆，则实数 的取值范围是 .
4．函数 的最大值为 .
5．若 ，则实数 的取值范围是 .
6．已知一个关于 的二元线性方程组的增广矩阵是 ，则 = .
7．双曲线 的两条渐近线的夹角为 .
8．已知 是函数 的反函数，且 ，则实数 .
9．二项式 的展开式中，含 项系数为 .
10．定义在 上的偶函数 ，在 上单调递增，则不等式 的解是 .
11．如图，已知 平面 ， ， ， , 、 分别是 、 的中点. 则异面直线 与 所成角的大小为 .
12．若直线 的方程为 （ 不同时为零），则下列命题正确的是 .
（1）以方程 的解为坐标的点都在直线 上；
（2）方程 可以表示平面坐标系中的任意一条直线；
（3）直线 的一个法向量为 ；
（4）直线 的倾斜角为 .
二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13．设椭圆的一个焦点为 ，且 ，则椭圆的标准方程为 （ ）
14．用1，2，3，4、5组成 没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为 （ ）
15．下列四个命题中，为真命题的是 （ ）
若 ，则 若 ， 则
若 ，则 若 ，则
16．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 （ ）
84 78 81 96
17．等差数列 的前 项 和为 ，若 ， 的值为 （ ）
10 20 25 30
18．“直线 垂直于 的边 ， ”是“直线 垂直于 的边 ”的 （ ）
充分非必要条件 必要非充分条件
充要条件 既非充分也非必要条件
19．函数 的零点个数为 （ ）
0 1 2 3
20．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前五个交易日，平均每天上涨5%，后五个交易日内，平均每天下跌4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本，精确到元)（ ）
赚723元 赚145元 亏145元 亏723元
21．已知数列 的通项公式 ，则
（ ）
22．如果函数 在区间 上是增函数，而函数 在区间 上是减函数，那么称函数 是区间 上“缓增函数”，区间 叫做“缓增区间”. 若函数 是区间 上“缓增函数”，则“缓增区间” 为 （ ）
23．设 为两个非零向量 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为2，则 （ ）
若 确定，则 唯一确定 若 确定，则 唯一确定
若 确定，则 唯一确定 若 确定，则 唯一确定
24．已知 是关于 的方程 的两个实数根，则经过两点 ， 的直线与椭圆 公共点的个数是 （ ）
2 1 0 不确定
三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
25．（本题满分7分）
已知函数 的定义域为集合 ，集合 . 若 ，求实数 的取值范围.
26．（本题满分8分）
如图所示，圆锥 的底面圆半径 ，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，求此圆锥的体积．
27．（本题满分8分）
已知直线 与抛物线 交于 、 两点（ 为抛物线的焦点， 为坐标原点），若 ，求 的垂直平分线的方程.
28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)
在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， 的平分线为 ，若
（1）当 时，求 的值；
(2) 当 时，求实数 的取值范围.
29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）
在数列 ， 中， , , , （ ）.
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 为数列 的前 项的和，若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
30．（本题满分8分）
某风景区有空中景点 及平坦的地面上景点 ．已知 与地面所成角的大小为 ，点 在地面上的射影为 ，如图.请在地面上选定点 ，使得 达到最大值.
31．(本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)
设函数 （ ）.
（1）设 且 ，试比较 与 的大小；
（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.
①对任意 都有 成立；
②对任意 都有 成立；
③若关于 的不等式 在 有解，则 的取值范围是 .
32．(本题满分12分，第1小题5分、第2小题7分)
已知三角形 的三个顶点分别为 ， ， .
（1）动点 在三角形 的内部或边界上，且点 到三边 的距离依次成等差数列，求点 的轨迹方程；
（2）若 ，直线 : 将 分割为面积相等的两部分，求实数 的取值范围.
浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试
高三数学参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1． ； 2． ； 3． ； 4．2； 5． ； 6．6； 7． ；
8． ； 9．24； 10． ； 11． （ ）； 12．（1）、（2）、（3）.
二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13． ； 14． ； 15． ； 16． ； 17． ； 18． ；
19． ； 20． ； 21． ； 22． ； 23． ； 24． .
三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
25．（本题满分7分）
解：集合 ，……………………………………………………………………3分
因为 ，所以 ， .…………………………………6分
即 . ………………………………………………………………………7分
26．（本题满分8分）
解：因为 ，所以弧 长为 ，……………………………………………2分
又因为 ，则有 ，所以 ．……………………4分
在 中， . ， …………………6分
所以圆锥的体积 ． ………………………………………8分
27．（本题满分8分）
解： 的方程为： . 由 得 ，
所以 ，……………………………………………………………………3分
由 ，可求得 .………………………………………………………5分
所以 ， 中点 .…………………………………………………6分
所以 的垂直平分线的方程为： .………………………………8分
28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)
解：（1）由 又 得 ………2分
…………………………………………………………………4分
……………………………………………6分
（2）由 得 ；…………………………………8分
又 = ，…………………10分
所以 ， .……………………………………………12分
29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）
解：（1）因为 ， ， ，
即数列 是首项为2，公比为 的等比数列，
所以 .…………………………………………………………3分
， ， ，
所以，当 时， ，即 .…………………………6分
（2）由 得 ， ，
， ，
因为 ，所以 .………………………8分
当 为奇数时， 随 的增大而增大，
且 ， ， ；………………………10分
当 为偶数时， 随 的增大而减小，
且 ， ， .
综上， .…………………………………………………………………13分
30．（本题满分8分）
解：因为 与地面所成的角的大小为 ， 垂直于地面， 是地面上的直线，
所以 .
∵ …………………………………………………………2分
∴
……………………………4分
……………6分
当 时， 达到最大值，
此时点 在 延长线上， 处.……………………………………8分
31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分)
解：（1）方法一（作商比较）：
显然 ， ，
于是 . ………1分
因为 .……………………………2分
又 .……3分
所以 .
即 .…………………………………………4分
方法二（作差比较）：
因为 .…………………………………1分
又 .……2分
.
即 .………………………………………………………………4分
（2）结论①正确，因 . .
.………………………………6分
结论②错误，举反例: 设 .（利用计算器） 等………………………………8分（ ，
， 均可）.
结论③正确，由 知 在区间 上是减函数.
所以 ，又 ，
所以 的值域为 .
要使不等式 在 有解，只要 即可.………………………10分
32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分)
解：（1）法1：设点 的坐标为 ，则由题意可知：
，由于 ， ， ，…2分
所以 ，…………………………………………………4分
化简可得： （ ）……………………………………5分
法2：设点 到三边 的距离分别为 ，其中 ， .所以 ………4分
于是点 的轨迹方程为 （ ）……………………5分
（2）由题意知道 ，
情况（1） .
直线 ： ，过定点 ，此时图像如右下：
由平面几何知识可知，直线 过三角形的重心 ，
从而 .………………………………………………7分
情况（2） .此时图像如右下：令 得 ，故直线 与两边 分别相交，设其交点分别为 ，则直线 与三角形两边的两个交点坐标 、 应该满足方程组： .
因此， 、 是一元二次方程： 的两个根.
即 ,
由韦达定理得： 而小三角形与原三角形面积比为 ，即 .
所以 ， ，亦即 .
再代入条件 ，解得 ，
从而得到 .……………………………………………………………11分
综合上述（1）（2）得： .……………………………………………12分
解法2：由题意知道
情况（1） .
直线 的方程为： ，过定点 ，
由平面几何知识可知，直线 应该过三角形的重心 ，
从而 .……………………………………………………………………7分
情况（2） .
设直线 ： 分别与边 ，
边 的交点分别为点 ，
通过解方程组可得： ， ，又点 ，
∴ = ，同样可以推出 .
亦即 ，再代入条件 ，解得 ，
从而得到 .………………………………………………………11分
综合上述（1）（2）得： .………………………………………12分
解法3：
情况（1） .
直线 的方程为： ，过定点 ，
由平面几何知识可知，直线 过三角形的重心 ，
从而 .………………………………………………………………………7分
情况（2） .
令 ，得 ，故直线 与两边 分别相交，
设其交点分别为 ，当 不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则 也不断减小.
当 时， 与 相似，由面积之比等于相似比的平方.
可知 ，所以 ，
综上可知 .…………………………………………………………12分
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