2015届高三年级第二次四校联考
数学（理）试题
2014.12
命题：康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中
【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1.已知集合 ， ，则集合
A. B. C. D.
2. 复数 为纯虚数，若 ( 为虚数单位)，则实数 的值为
A． B． C． D．
3. 设双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．
4. 如图所示的程序框图，若输入的 值为0，则输出的 值为
A． B．0 C．1 D． 或0
5. 已知条件 ： ，条件 ： ，且 是 的充分
不必要条件，则 的取值范围是
A. B．
C． D．
6. 已知实数 满足 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
7. 设数列 的前 项和为 ，若 ，则
A． B． C． D．
8. 在三棱锥 中， ， ,二面角 的
余弦值是 ，则 三棱锥 外接球的表面积是
A. B. C. D.
9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A． B.
C. D.
10. 设 为抛物线 上不同的两点， 为坐标原点,且 ,则 面积的最小值为
A． B．
C． D．
11. 在平面直角坐标系 中，已知 是函数 的图象上的动点，该图像
在点 处的切线 交 轴于点 .过点 作 的垂线交 轴于点 ，设线段 的中 点的横坐标为 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
12.已知函数 ，则方程 的根的个数不可能为
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)
13. 已知 ， ， ，则向量 与 的夹角是___________.
14. 若函数 在区间 上是单调减函数，且函数值从 减小到 ，则 ___________.
15. 抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，若 ，则 的最小
值为___________.
16. 已知数列 ，则 ___________.
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17. (本小题满分12分)
在 中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S．已知
（1）求 ; （2）若 ，求S的最大值.
18．（本小题满分12分）
如图1，直角梯形 中， ∥ , , 是底边 上的一点，且 . 现将 沿 折起到 的位置，得到如图2所示的四棱锥 且 .
（1）求证： 平面 ;
（2）若 是棱 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
19．（本小题满分12分）
在等差数列 中， 为其前 项和，已知 ;正项数列 满足：
， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 求数列 的前 项和 .
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中， 分别为椭圆 ： 的左、右焦点, 为短轴的一个端点， 是椭圆 上的一点，满足 ，且 的周长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 是线段 上的一点，过点 且与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 两点，若 是以 为顶点的等腰三角形，求点 到直线 距离的取值范围.
21. ( 本小题满分12分)
设函数 （其中 28．．．）， ，已知它们在 处有相同的切线.
(1) 求函数 , 的解析式；
(2) 求函数 在 上的最小值；
(3) 若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图， 边AB上的高，
（1）证明：A、B、P、Q四点共圆；
（2）若CQ=4，AQ=1，PF= ，求CB的长.
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 是参数
（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 、 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值．
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式 ;
（2）设 ，对任意 都有 ，求 的取值范围.
2015届高三年级第二次四校联考理科数学参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：ADCBA 6-10：DBCDC 11-12：BA
二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 14. 15. 16.
三、解答题：17、 (本小题满分12分)
解：（1）条件可化为 …2分
由余弦定理可得 ， …6分
故 …8分
（2）
当且仅当 时“＝”成立 …12分
18、 (本小题满分12分)
解：（1）设 ，则
∴ ………2分
又 ，
∴
∴ ………4分
又 ∩
∴ 平面 ………5分
（2）由（1）知： 平面 且 ,分别以 为 轴、 轴、 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图 ………6分
则
是 的中点 ∴ ∴ ………8分
设平面 的法向量为
由 即 令 得 ………10分
设直线 与平面 所成角为 ，则
∴ 直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………12分
19、(本小题满分12分) 解：（1）设等差数列 的公差为 。
则 解得
∴ ………3分
又 ∵ ∴
即数列 是公比为2的等比数列
∵ 得： ∴ ……6分
（2） ①
②
①- ②得：
………9分
∴
………12分
20、(本小题满分12分)解：（1）由已知 ，设 ，即
∴ 即 ∴ 得： ①………2分
又 的周长为 ∴ ② ………4分
又①②得： ∴ ∴所求椭圆 的方程为： …5分
（2）设点 ,直线 的方程为
由 消去 ，得：
设 ， 中点为
则 ∴
∴
即 ………8分
∵ 是以 为顶点的等腰三角形 ∴ 即
∴ ………10分
设点 到直线 距离为 ，
则 ∴
即点 到直线距离的取值范围是 。 ………12分
另解： ∴
法2：∵ 是以 为顶点的等腰三角形
∴
∵
∴ ………8分
又
∴
∴ ∴ ……10分
以下同解法一。
21、 (本小题满分12分)解：（1） ， ．由题意两函数在 处有相同的切线．
， ， ． ， ．
， ……3分
（2） ，由 得 ，由 得 ，
在 单调递增，在 单调递减．
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，
当 时， 在 单调递增，
； ……7分
（3）令 ，
由题意，当 ， ．
， 恒成立， ， ．
，
，由 得 ， ．
由 得
在 单调递减，在 单调递增．……10分
当 ，即 时， 在 单调递增， ，不满足 ．
当 ，即 时，由知 满足 ．
当 ，即 时， 在 单调递减，在 单调递增， ，满足 ．
综上所述，满足题意的 的取值范围为 ． ……12分
22、(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
(1) 证明:连接QP，由已知C、P、F、Q四点共圆，
则四点A、B、P、Q共圆. ……5分
(2) 解:
……10分
23、(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解:（1） ……4分
（2）将 代入圆的方程得 ，
化简得 .
设 、 两点对应的参数分别为 、 ,则 , ……6分
,
, , 或 . ……10分
24、(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
解：（1） -2 当 时， , 即 ，∴ ；
当 时， ,即 ,∴
当 时， , 即 , ∴1 6
综上，{ | 6} ……5分
（2）
函数 的图像如图所示：
∵ ， 表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时， ；
∴当- 2，即 -2时成立； ……8分
当 ，即 时，令 ， 得 ,
∴ 2+ ,即 4时成立，综上 -2或 4。 ……10分
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