大庆市高三年级第二次教学质量检测试题
数 学（文科）
2015．1．8
命题组成员：戈冉舟 卢伟峰 王艳萍 王书义 李世明 腾文秀
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合 ，集合 ，则
（A） （B） （C） （D）
（2） ，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
（3）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的表面积为
（A） （B） （C） （D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的
（A）29 （B）44 （C）52 （D）62
（5）下列说法不正确的是
（A）若“ 且 ”为真，则 、 至少有一个是假命题
（B）命题“ ， ”的否定是“ ， ”
（C）“ ”是“ 为偶函数”的充要条件
（D） 时，幂函数 在 上单调递减
（6）已知某线性规划问题的约束条件是 ，则下列目标函数中，在点 处取得最下值得是
（A） （B） （C） （D）
（7）等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 与 的等差中项为 ，则
（A）29 （B）31 （C）33 （D）36
（8）能够把圆 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 称为圆 的“亲和函数”，下列函数不是圆 的“亲和函数”的是
（A） （B） （C） （D）
（9）已知函数 ，则与 图象相切的斜率最小的切线方程为
（A） （B）
（C） （D）
（10）方程 所表示的曲线的图形是
（A） （B） （C） （D）
（11）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，其中 ， 为 上一点，满足 且 ，则椭圆 的方程为
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数 且 有两个零点 、 ，则有
（A） （B） （C） （D） 的范围不确定
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答.
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）
（13） 的共轭复数为_______．
（14）已知向量 与 的夹角是 ，且 ， ，若 ，则实数 _______．
（15）函数 且 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为_______．
（16）对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，请你根据这一发现，计算
…… ________．
解析： ，由 得 ， ，则 为 的对称中心，则 ，
则 …… ．
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）已知公差不为0的等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和为 ．
（18）在 中，内角 、 、 所对的边分别为 ， ， ， ，且 ．
（1）求角 的值； （2）设函数 ，且 图象上相邻两最高点间的距离为 ，求 的取值范围．
（19）如图，四棱柱 的底面为菱形， ， 交于点 ， 平面 ， ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
（20）已知椭圆 的离心率是 ，其左、右顶点分别为 、 ， 为短轴的一个端点， 的面积为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与 轴交于 ， 是椭圆 上异于 、 的动点，直线 、 分别交直线 于 、 两点，求证： 为定值．
（21）已知函数 在 处取得极值．
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的最小值；
（3）求证：对任意 、 ，都有 ．
请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图， 为圆的内接三角形， ， 为圆的弦，且 ，过点 作圆的切线与 的延长线交于点 ， 与 交于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ， ，求线段 的长．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线 （ 为参数）和定点 ， 、 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线 的直角坐标方程；
（2）经过点 且与直线 垂直的直线 交此圆锥曲线于 、 两点，求 的值．
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 ， ．
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若 的图象恒在 图象的上方，求实数 的取值范围．
大庆市高三年级第二次教学质量检测文科数学参考答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A A C B B C B D C A
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
三．解答题（本题共6大题，共70分）
17（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 由等差数列 满足 知， ，所以 . ①
因为 成等比数列，所以 ，整理得 ，
又因为数列 公差不为 ，所以 . ② ……………………2分
联立①②解得 . ……………………4分
所以 . ……………………6分
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ……………………8分
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ……………………10分
由等比数列前 项和公式得， . ……………………12分
18.（本小题满分12分）
解：（I）因为 ，由余弦定理知 ,所以 ，
又因为 ，则由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
（Ⅱ） ， ……………………8分
由已知 得， ， ……………………9分
则 ，
因为 ， ，
所以 ，整理得 .
因为 ，所以 ，所以 .………………10分
① ，
② ，
故 的取值范围是 . ………………12分
19（本小题满分12分）
（I）证明：因为四边形 为菱形，所以 ，又因为 平面 ，所以 .因为 ，所以 平面 ，所以 . ……………………2分
由已知 ， ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ， …………………4分
因为 ，
所以 平面 . …………6分
（Ⅱ）连接 ，因为 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ， ………………8分
所以三棱锥 的体积 ………10分
. ……………12分
20（本小题满分12分）
（I）由已知得 ，解得 ，
故所求椭圆方程为 .………………………………4分
（II）由（I）可知， 设 ，依题意 ，于是直线 的方程为 .令 ，则 ，所以 . …7分
又直线 的方程为 ，令 ，则 ，
即 . ………………………9分
所以 ,
又 在 上，所以 ，即 ， …………11分
代入上式，得 ，所以 为定值 . ……………12分
21（本小题满分12分）
解： (Ⅰ) , ……………………………1分
由已知得 ，即 ，解得 . ……………………………3分
当 时, 在 处取得极小值,所以 . ……………………………4分
（II） ， ，
令 得 ，令 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ……………………5分
①当 时， 在 上单调递增， ；
②当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
；
③当 时， ， 在 上单调递减， .
综上， 在 上的最小值 ……………… 8分
(III)由(Ⅰ)知 , .
令 ，得 ，因为 ，
所以， 时， .………… 10分
所以,对任意 ,都有 . ………12分
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为 与圆相切于点 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ． …………………… 3分
因为 ，所以四边形 为平行四边形． ………………… 5分
（Ⅱ）因为 与圆相切于点 ，所以 ，
即 ，解得 ，
根据（Ⅰ）有 ，
设 ，由 ，得 ，即 ，解得 ，即 .
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）曲线 可化为 ， ……………2分
其轨迹为椭圆，焦点为 . ………………3分
经过 和 的直线方程为 ,即 . ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线 的斜率为 ，因为 ，所以 的斜率为 ，倾斜角为 ，
所以 的参数方程为 （ 为参数），
代入椭圆 的方程中，得 .……………………8分
因为 在点 的两侧，所以 .……………10分
（24）（本小题满分10分）
（Ⅰ）因为 ，所以 ，所以 ， ………3分
由题意知 ，所以 . ……………5分
（Ⅱ）因为 图象总在 图象上方，所以 恒成立，
即 恒成立， ……………7分
因为 ，当且仅当 时等式成立，
所以 的取值范围是 . ……10分
点击下载：黑龙江省大庆市2015届高三年级第二次教学质量检测试题（文数）
