河北省邢台市2015届高三摸底考试
数学（理）试题
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分。考试时间为120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码
区域内。
2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将答题卡交回。
第I卷
一、选择题：本大题包括l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集 ，则集合B中元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知复数 ，则下列命题中错误的是
A． B．|z1|=|z2|
C． D．zl、z2互为共轭复数
3．双曲线x2－4y2=一1的渐近线方程为
A． B．
C．x 4y =0 D．y 4x =0
4．执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为
A．k<6？ B．k≤6?
C．k<7？ D．k≤7？
5．已知 ，则p是q的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为l的正方形，如
图所示，则该几何体的体积为
A． B． ÷
C． D．
7．给出下列命题：①函数 _是奇函数；
②函数 =1既是奇函数又是偶函数；
③函数 与y=- l0g3x的图象关于直线y=x对称；④若y= 是定义在R上的函数，则 的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设实数x、y，满足约束条件 则z=2x +3y +1的最小值为
A．27 B．25 C．17 D．15
9．先把函数 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移 个单位，得到y=g（x）的图象．当 ）时，函数g（x）的值域为
A． B． C． D．
10．已知正项等比数列{an}满足S3 -3a1 -2a2 =0，若存在两项an•am使得 ，则 的最小值是
A．9 B． C． D．
11．已知双曲线 的左、右两个焦点分别为F1、F2、A、B为其左、右两个顶
上点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠MAB= 30°，则
该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
12．已知函数 则方程 的根的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第
22题一第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分．
13．已知向量a，b，|a| =1，|b| =2，且（a+b）⊥a，则a与b的夹角为 。
14．已知 ，则tan = 。
15．已知 的二项展开式中，x的系数为 。
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知ac=b2 －a2， ，则B= ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn且满足
（I）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=a1且bn+1一bn=an+1，求数列 的前n项和Tn．
18．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P -ABCD的底面为菱形，
∠BCD= 120°,AB= PC =2,AP= BP=
（I）求证：AB⊥PC：
（Ⅱ）求二面角B一PC—D的余弦值．
19．（本小题满分12分）
某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．
（I）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和 的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知圆 点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．
（I）求动点P的轨迹C1的方程；
（Ⅱ）设 ，N为抛物线 上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线Cl于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数 为自然对数的底数）．
（I）当 时，求函数 的单调区间及极值；
（Ⅱ）当2≤a≤e+2时，求证 ．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2日铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框
涂黑-按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评
分。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，AC为⊙O的直径，D为 的中点，E为BC的中点．
（I）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC．BC= 2A D．CD．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与戈轴的正半轴重合．直线 的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为： 为参数）．
（I）写出直线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线 的距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（I）解不等式 ；
（Ⅱ）当x∈R，0<y<1时，证明： 。
参考答案
1. C 2.C 3.A 4.A 5.D 6.D 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.C
13. ；14. ；15. ；16. .
17.解：(Ⅰ)法一：设正项等差数列 的首项为 ，公差为 ， ………1分
则 ， ………2分
得 ………4分
………6分
法二： 是等差数列且 ， ，
又 ．…………………………………………………2分
，……………………………4分
， ． ……………6分
（Ⅱ） ，
当 时，
，………8分
当 时， 满足上式，
……………………………………10分
．……………12分
18. （I）证明：取 的中点 ，连接
为等腰三角形 ………………………2分
又 四边形 是菱形，
是等边三角形 …………………………4分
又 ，又
……………………………………6分
19. 解：（Ｉ）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有 人，
所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为
. ………4分
(II)设两人成绩之和为 ，则 的值可以为16，17，18，19，20 ………6分
， ， ，
， ………………10分
所以 的分布列为
16 17 18 19 20
所以
所以 的数学期望为 . …………12分
20. 解：（Ⅰ）由已知可得，点 满足
所以，动点 的轨迹 是一个椭圆，其中 ， ………2分
动点 的轨迹 的方程为 . …………………4分
（Ⅱ）设 ，则 的方程为： ，联立方程组 ，消去 整理得： ，……6分
有 ，
而
点 到 的高为 …………10分
由 代入化简得：
即 ；
当且仅当 时， 可取最大值 . ……………12分
21. 解：（Ⅰ）当 时，
令 ，得 …………2分
当 时， ；当 时，
所以，函数 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 ………4分
当 时，函数 有极大值 ；没有极小值. …………………5分
（Ⅱ）令
①当 时，
所以， ……………8分
②当 时，
当 时， ；当 时，
所以 在 单调递减，在 上单调递增.………10分
所以
，
，即
综上，当 时， . ……………12分
22. 解：（Ⅰ）连接 ，因为 为 的中点，
所以 ．
因为 为 的中点，所以 ．
因为 为圆的直径，所以 ，
所以 ． …5分
（Ⅱ）因为 为 的中点，所以 ，
又 ,则 ．又因为 ， ，所以 ∽ ．
所以 ， , . …10分
23. 解：（Ⅰ）
， ， .…………5分
（Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为
所以，曲线 上的点到直线 的距离
………10分
解法二：曲线 为以 为圆心， 为半径的圆.圆心到直线的距离为
所以，最大距离为 ………10分
24. 解：（Ⅰ）由已知可得：
所以， 的解集为 . …………………5分
(II)由（Ⅰ）知， ；
. ……………………10分
说明：各题中出现的不同解法，请参照此标准相应给分。
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