虹口区2014学年第一学期高三期终教学质量监测试卷
2015.1.8
一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1、椭圆 的焦距为 .
2、在 的展开式中，各项系数之和为 .
3、若复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 .
4、若正实数 满足 32，则 的最小值为 .
5、行列式 的最小值为 .
6、在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 .
7、若 则方程 的所有解之和等于 .
8、若数列 为等差数列，且 ，则 .
9、设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，则 .
10、已知 是分别经过 两点的两条平行直线，当 之间的距离最大时，直线 的方程是 .
11、若抛物线 上的两点 、 到焦点的距离之和为6，则线段 的中点到 轴的距离为 .
12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）
13、右图是正四面体的平面展开图， 分别为 的中点，则在这个正四面体中， 与 所成角的大小为 .
14、右图为函数 的部分图像， 是它与 轴的两个交点， 分别为它的最高点和最低点， 是线段 的中点，且 ，则函数 的解析式为 .
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.
15、设全集 ，则 （ ）.
A.
B.
C.
D.
16、设 均为非零向量，下列四个条件中，使 成立的必要条件是 （ ）.
A.
B.
C.
D. 且
17、关于曲线 ，给出下列四个命题：
①曲线 关于原点对称； ②曲线 关于直线 对称
③曲线 围成的面积大于 ④曲线 围成的面积小于
上述命题中，真命题的序号为 （ ）
A.①②③ B.①②④ C.①④ D.①③
18、若直线 与曲线 有四个不同交点，则实数 的取值范围是 （ ）.
A.
B.
C.
D.
三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.
19、（本题满分12分）
已知 ，求 的值
20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分
一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的 ，设球的半径为 ，圆锥底面半径为 .
（1）试确定 与 的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；
（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.
21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分
已知函数 和 的图像关于原点对称，且
（1）求函数 的解析式；
（2）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围.
22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.
已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ，且 ，其中 .
（1）求证： 成等差数列；
（2）求证：数列 是等差数列；
（3）设数列 满足 ，且 为其前 项和，求证：对任意正整数 ，不等式 恒成立.
23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.
已知 为为双曲线 的两个焦点，焦距 ，过左焦点 垂直于 轴的直线，与双曲线 相交于 两点，且 为等边三角形.
（1）求双曲线 的方程；
（2）设 为直线 上任意一点，过右焦点 作 的垂线交双曲线 与 两点，求证：直线 平分线段 （其中 为坐标原点）；
（3）是否存在过右焦点 的直线 ，它与双曲线 的两条渐近线分别相交于 两点，且使得 的面积为 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
2015年虹口区高三一模数学试卷理科（参考答案）
一．填空题
1. ； 2. 1； 3. ； 4. 16； 5. ； 6. ； 7. ；
8. ； 9. ； 10. ； 11. 3； 12. ；
13. ； 14. ；
二．选择题
15. C； 16. B； 17. D； 18. A；
三．解答题
19. 解： ，在第一象限，∴ ；
；
；
20. （1）解： ， ； ；
（2）解： ；
21. （1）解： ；
（2）解： ，
当 ，即 时，对称轴 ，∴ ；
当 ，即 时， ，符合题意，∴ ；
当 ，即 时，对称轴 ，∴ ；
综上， ；
22. （1）解： ①； ②；①－②得 ，得证；
（2）解：由 ，得 ，结合第（1）问结论，即可得 是等差数列；
（3）解：根据题意， ， ；
要证 ，即证 ；
当 时， 成立；
假设当 时， 成立；
当 时， ；
要证 ，即证 ，展开后显然成立，
所以对任意正整数 ，不等式 恒成立；
23. （1） ，∵等边三角形，∴ ， ， ，∴ ；
（2）解：设 ， ，中点为 ，然后点差法，
即得 ，
∴ ，即点 与点 重合，所以 为 中点，得证；
（3）解：假设存在这样的直线，设直线 ， ，
联立 得 ；联立 得 ；
，即 ；
∴ ，该方程无解，所以不存在这样得直线
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