红河州2015届高三毕业生复习统一检测数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时l20分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试卷上的答案无效．
本卷共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
一、选择题
1.已知全集 ，集合 ， ，下图中阴影部分所表示的集合为 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
2. （ ）
（A） （B） （C） （D）
3.某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出 的值为 （ ）
（A）10 （B）12 （C）15 （D）18
4.已知数列 是等差数列，其前 项和为 ，若 ，则 （ ）
（A）15 （B）14 （C）13 （D）12
5.若实数 ， 满足线性约束条件 ，则 的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6.若 ，则方程 的实数根的个数为 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
7.已知命题 ： ， ，命题 ： ， ，则下列命题为真命题的是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
8.如下图，网格纸上的正方形小格的边长为 ，图中的粗线画出了某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
9.若函数 ， ，又 ， ， 的最小值等于 ，则正数 的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
10.若直线 （ ， ）截圆 ，所得的弦长为 ，则 的最小值为 （ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12
11.假设在5秒钟内的任何时刻，两条不相关的短信能机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
12.若函数 在区间 内存在最小值，则实数 的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上.
13.已知球的体积是 ，一个平面截该球得到直径为 的圆，则球心到这个平面的距离是 .
14.已知抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则该双曲线的离心率为 .
15.在 中， 是 的中点， ， ，则 = .
16.已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 .
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把答案做在答题卡上.
17．（本小题满分12分）在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 的面积的最大值．
18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD中， ， ， ， ，将 沿 折起，使平面 平面 ，得到三棱锥 ，如图2所示．
(Ⅰ)求证 平面 ；
(Ⅱ)求点 到平面 的距离．
19．（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名，按年龄所在的区间分组：第1组：[20，25）；第2组：[25，30）；第3组：[30，35）；第4组：[35，40）；第5组：[40，45]．得到的频率分布直方图如下图所示．
（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ）在满足条件（Ⅰ）时，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
20．（本小题满分12分）在直角坐标系 中，动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比是 ．
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）设曲线 上的三点 ， ， 与点 的距离成等差数列，线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 ．
21．（本小题满分12分）已知函数 的图象在点 处的切线为 （ 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
选考题：请考生在第22、23、24三道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（本小题满分10分）选修4－1∶几何证明选讲
如图，梯形 内接于⊙ ， ，过点 作⊙ 的切线，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ， ， ，求切线 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4∶坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与曲线 交于 、 两点．
（Ⅰ）求弦 的长；
（Ⅱ）以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 的极坐标为 ，求点 到线段 的中点 的距离．
24．（本小题满分10分）选修4－5∶不等式选讲
设函数 ， ．
（Ⅰ）证明：当 时，不等式 成立；
（Ⅱ）关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的最大值．
2015年红河州高中毕业生复习统一检测
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B D C B A C D B C A D C
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
题号 13 14 15 16
答案 2
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．
17．（12分）
解：（Ⅰ）∵ ，∴ ．
∵ 是锐角，∴ ．∴ ．
∵ ， ，∴ ． ………………………………6分
（Ⅱ） ．
由（Ⅰ）知， ．
∴ ．即 ．
∴ ．
∴ 的面积的最大值为 ． ………………………………12分
18．（12分）
解（Ⅰ）在图1中,可得 ，∴ ．∴ ．
取线段 的中点 ，连接 ，∵ ，∴ ．
又∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．∴ ．
∵ ，∴ 平面 ． ………………………6分
(Ⅱ)设点 到平面 的距离为 ．
由（Ⅰ）可知 平面 ，∴ ．
由已知得 ，∴ 平面 ．∴ ．
∴ ．
由（Ⅰ）可知 平面 ， ， ．
根据体积关系得， ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴点 到平面 的距离是 ． ……………………………12分
19．（12分）
解：（Ⅰ）第3组的人数为 ，第4组的人数为 ，第5组的人数为 ．所以第3,4,5组共60名志愿者．利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数为：第3组： ；第4组： ；第5组： ．所以应从第3,4,5组中分别抽取的人数为3人，2人，1人．…………6分
（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为 ， ， ，第4组的2名志愿者为 ， ，第5组的1名志愿者为 ．从6名志愿者中取2名志愿者有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．共有15种方法． ……………………………………9分
其中第4组的2名志愿者 ， 至少有一名志愿者被抽中的有： ， ， ， ， ， ， ， ， ．共9种．
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 ． ………………12分
20．（12分）
解：（Ⅰ）由已知，得 ． ………………2分
两边平方，化简得 ．故轨迹 的方程是 ． ……………4分
（Ⅱ）由已知可得 ， ， ．……6分
根据条件得 ，∴ ．
化简得 ① …………………………………………………8分
∴线段 的中点坐标为 ，
∴线段 的垂直平分线方程为 ② ……………9分
∵点 、 在 上，∴ ， ，
两式相减得： ③
把①代入③化简得： ④ ……………………10分
把④代入②，令 得， ，∴点 的坐标为 ．……………………11分
∴直线 的斜率 ． ………………………………………12分
21．（12分）
解：（Ⅰ）∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．∴切线方程是 ．
∵切点为 ．∴ ．∴ ．∴ ． ……………4分
（Ⅱ）令 ，则 ，由 解得 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ ．∴ ． ………………………………8分
（Ⅲ） 对任意的 恒成立等价于 对任意的 恒成立．
令 ， ．∴ ．
由（Ⅱ）可知当 时， 恒成立．∴当 时， ．当 时， ．∴ ．∴ ．
∴实数 的取值范围为 ． ……………………………………………12分
22.（本小题满分10分）选修4－1∶几何证明选讲
解：（Ⅰ）证明：∵AD BC，∴ ．∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD．
∵PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC．∴△CDE △BCD，∴ ＝ ．
∴CD2＝DE•BC，∴AB2＝DE•BC． ……………………………………5分
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，DE ＝ ＝4．
∵AD BC，∴△PDE∽△PBC．
∴ ＝ ＝ ．∴ ＝ ．
解得PD＝ ．∴ ．
∴ ＝PD•PB＝ ．
∴ ． …………………………………10分
23．（本小题满分10分）选修4－4∶坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）直线 的参数方程的标准形式为 （ 为参数），代入曲线 得 ．记 ， 对应的参数分别为 ， ．则 ， ．
所以 ． ……………………………………5分
（Ⅱ）由极坐标与直角坐标互化公式得点 的直角坐标 ．所以点 在直线 上．
中点 对应的参数为 ，由参数 的几何意义得，点 到线段 中点 的距离 ． …………………………………10分
24．（本小题满分10分）选修4－5∶不等式选讲
解：（Ⅰ）当 时， .
∴ ．即 ．∴ ． ……………………………………5分
（Ⅱ）由绝对值的性质得 ．
∴ = ，∴ ，解得 ．∴ 的最大值为2． ………………10分
请注意：以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其它答案请参考评分标准酌情给分．
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