湖北省黄冈中学等八校2015届高三12月第一次联考
数学（文科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共0个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、若复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C． D．
2、已知函数 的定义域为 的定义域为 ，
则 ( )
A． B． C． D．
3、下列函数中，对于任意 ，同时满足条件 和 的函数是（ ）
A． B． C． D．
4、若幂函数 的图象经过点 ，则它在点A处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
5、如图给出是计算 的值的程序框图，
其中判断框内应填入的是（ ）
A． B．
C． D．
6、已知实数等比数列 的前n项和为 ，则下列结论一定
成立的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7、、棱长为2的正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体
的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）
A．14 B．4 C． D．3
8、点A是抛物线 与双曲线 的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线 的准线的距离为 ，则双曲线 的离心率等于（ ）
A． B．2 C． D．4
9、已知符号函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10、有下列命题：
①在函数 的图象中，相邻两个对称中心的距离为 ；
②“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件；
③已知命题 对任意的 ，都有 ，则“ 是：存在 ，使得 ”；
④在 中，若 ，则角 等于 或 。
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、在边长为2的正 中，则
12、某校选修篮球课程的学生中，高一学生由30名，高二学生由40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为n的样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中抽取 人。
13、设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为
14、随机向边长为5、5、6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率为
15、观察系列等式 ，由以上等式推出出一个一般性的结论：对于 ，
16、用 表示非空集合 中的元素个数，定义 ，
若 ， ，且 ，则
17、早平面直角坐标系中 中，直线 是曲线 的切线，则当 时，实数 的最小值是
三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
已知函数
（1）求 的单调递增区间；
（2）在 中，三内角 的对边分别为 ，已知 成等差数列，
且 ，求 的值。
18、（本小题满分12分）
正方体 的棱长为1，点 封闭为 的中点。
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 。
19、（本小题满分13分）
已知等比数列 的公比 ，前n项和为 且 成等差数列，数列 的前n项和为 ，其中 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ， ,求集合 中的所有元素之和。
20、（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦 和 ，当直线 斜率为0时，
（1）求椭圆的方程；
（2）求由 四点构成的四边形的面积的取值范围。
21、（本小题满分14分）
已知函数
（1）判断 的单调性；
（2）求函数 的零点的个数；
（3）令 ，若函数 在 内有极值，求实数 的取值范围。
2015届高三第一次联考文科数学参考答案
一、选择题
二、填空题
11． 12．8 13．8 14． 15． 16．4 17．
解析如下：
5．由程序知道， 都应该满足条件， 不满足条件，故应该选择B．
6．设 ，因为 所以A，B不成立，对于C，当 时， ，因为
与 同号，所以 ，选项C正确，对于D，取数列：-1，1，-1，1，……，不满足条件，D错．故选C．
7．几何体如图，体积为： ，故选B
8． 点A到抛物线C1的准线的距离为p， 适合 ， ， 故选C.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位
置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
15．由于 ，
则
16．由于 的根可能是2个，3个，4个，而|A-B|=1，故 只有3个根，
故 .
17．设切点为( , ，则 上此点处的切线为 ，故
在 上单调递减，在 上单调递增.
的最小值为 .
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（Ⅰ） …………2分
= …………………………3分
由 Z)得， Z) ……5分
故 的单调递增区间是 Z) ………………………6分
（Ⅱ） ， ，
于是 ，故 …………………………8分
由 成等差数列得： ，
由 得 ， ………………………………10分
由余弦定理得， ，
于是 ， ， ……………………………………13分
19．（Ⅰ）连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，
又F为A1D的中点，所以EF∥A1B，……………3分
又 平面AFC， 平面AFC，
由线面平行的判断定理可得A1B∥平面AFC……5分
（Ⅱ）连B1C，在正方体中A1B1CD为长方形，
∵H为A1C的中点 ，∴H也是B1D的中点，
∴只要证 平面ACF即可 ………………6分
由正方体性质得 ， ，
∴ 平面B1BD，∴ …………………………………………9分
又F为A1D的中点，∴ ，又 ，∴ 平面A1B1D，
∴ ，又AF、AC为平面ACF内的相交直线， …………………11分
∴ 平面ACF。即 平面ACF。 ………………………………12分
21．（Ⅰ）由题意知， ，则 ， ，
所以 ．所以椭圆的方程为 ． ………………4分
（Ⅱ）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知 ； …………………………5分
②当两弦斜率均存在且不为0时，设 ， ，
且设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ．
将直线 的方程代入椭圆方程中，并整理得 ，
所以 ．…………8分
同理， ． …………………………10分
所以
，
当且仅当 时取等号 …………11分
∴
综合①与②可知， …………………………………………13分
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