成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测
数学试题（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集 ，集合 ，则
（A） （B）
（C） （D）
2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是
（A） （B） （C） （D）
3．命题“若 ，则 ”的逆命题是
（A）若 ，则 （B）若 ，则
（C）若 ，则 （D）若 ，则
4．函数 的图象大致为
（A） （B） （C） （D）
5．复数 （ 是虚数单位）的共轭复数为
（A） （B） （C） （D）
6．若关于 的方程 在区间 上有实数根，则实数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
7．已知 ， ，则 的值是
（A） （B） （C） （D）
8．已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点， 为坐标原点，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
9．已知 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同的平面，且 ，则下列叙述正确的是
（A）若 ， ，则 （B）若 ， ，则
（C）若 ， ，则 （D）若 ， ，则
10．如图，已知正方体 棱长为4，点 在棱 上，且 ．点 ， 分别为棱 ， 的中点， 是侧面 内一动点，且满足 .则当点 运动时， 的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示.则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．
12．若非零向量 ， 满足 ，则 ， 的夹角的大小为__________．
13．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ， ， ．则边 的长度为__________．
14．已知关于 的不等式 的解集为 ，集合 ．若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是__________．
15．已知函数 的图象在点 （ ）处的切线 的斜率为 ，直线 交 轴， 轴分别于点 ， ，且 ．给出以下结论：
① ；
②记函数 （ ），则函数 的单调性是先减后增，且最小值为 ；
③当 时， ；
④当 时，记数列 的前 项和为 ，则 ．
其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为 ．
（Ⅰ）求“ ”的概率；
（Ⅱ）求“ ”的概率．
17．（本小题满分12分）
如图，在多面体 中， 平面 ， ， 为正三角形， 为 的中点， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求多面体 的体积．
18．（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ；数列 满足 ， ． .
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 ， .求数列 的前 项和 ．
19．（本小题满分12分）
某大型企业一天中不同时刻的用电量 （单位：万千瓦时）关于时间 （ ，单位：小时）的函数 近似地满足 ，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量 与时间 的大致图象．
（Ⅰ）根据图象，求 ， ， ， 的值；
（Ⅱ）若某日的供电量 （万千瓦时）与时间 （小时）近似满足函数关系式 （ ）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）.
参考数据:
（时）
10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875
（万千瓦时）
2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493
（万千瓦时）
5 3.5 2 2.75 3.125 2.375 2.563 2.469
20．（本小题满分13分）
已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且过点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于不同两点 、 ，且 ．若点 满足 ，求 的值．
21．（本小题满分14分）
已知函数 ， ，其中 ， 为自然对数的底数．
（Ⅰ）当 时，求函数 的极小值；
（Ⅱ）对 ，是否存在 ，使得 成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设 ，当 时，若函数 存在 三个零点，且 ，求证： ．
数学（文科）参考答案及评分意见
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
1．A； 2．C； 3．D；4．A；5．C；6．B；7．D；8．B；9．C；10．B．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11． 12． 13． 14. 15．①②④
三、解答题：（本大题共6个小题,共75分）
16．（本小题满分12分）
解：同时取出两个球，得到的编号 可能为：
， ， ，
， ，
，
…………………………………………………………………………………6分
（Ⅰ）记“ ”为事件 ，则
．……………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）记“ ”为事件 ，则
．…………………………………………………………………… 3分
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：作 的中点 ，连结 ．
在 中， ，又据题意知， ．
∴ ，∴四边形 为平行四边形．
∴ ，又 面 ， 平面 ．
∴ 面 ．………………………6分
（Ⅱ）据题意知，多面体 为四棱锥 ．
过点 作 于 ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ．
又 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ 面 ．
∴在四棱锥 中，底面为直角梯形 ，高 ．
∴ ．
∴多面体 的体积为 ．……………………………………………6分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
当 时，
得， （ ）．
∵当 时， ，且 ．
∴数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
∴数列 的通项公式为 ．………………………………………4分
又由题意知， ， ，即
∴数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
∴数列 的通项公式为 ．……………………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ……………………………………………………1分
∴
④
由 ④得
…………………1分
∴ …………………………………………………1分
∴ 即
∴
∴数列 的前 项和 ………………………………………3分
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由图知 ， ．………………………………………………………1分
， ．……………2分
∴ ．
又函数 过点 ．
代入，得 ，又 ，∴ ．…………………………………2分
综上， ， ， ， ． ………………………………………1分
即 ．
（Ⅱ）令 ，设 ，则 为该企业的停产时间．
由 ， ，则 ．
又 ，则 ．
又 ，则 ．
又 ，则 ．
又 ，则 ．…4分
∵ ． ……………………………………………1分
∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分
（也可直接由 ， ，得出 ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）
20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）由已知得 ，又 ．
∴ ．
∴椭圆 的方程为 ．…………………………………………………4分
（Ⅱ）由 得 ① ………………………1分
∵直线 与椭圆 交于不同两点 、 ，∴△ ，
得 ．
设 ， ，则 ， 是方程①的两根，
则 ， ．
∴ ．
又由 ，得 ，解之 ．……………………………3分
据题意知，点 为线段 的中垂线与直线 的交点．
设 的中点为 ，则 ， ，
当 时，
∴此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ．
令 ，得 ．…………………………………………………………………2分
当 时，
∴此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ．
令 ，得 ．………………………………………………………………2分
综上所述， 的值为 或 ．
21.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） 时， ．
∴ ……………………………………………………………………1分
由 ，解得 ；由 ，解得 ；
∴ 在 上单调递减， 上单调递增．…………………………………………2分
∴ ．…………………………………………………… 2分
（II）令 ，其中
由题意， 对 恒成立，
∵
∵ ，∴在二次函数 中， ，
∴ 对 恒成立
∴ 对 恒成立， ∴ 在 上单减．
∴ ，即 ．
故存在 使 对 恒成立．……………………………………4分
（III） ，易知 为函数 的一个零点，
∵ ，∴ ，因此据题意知，函数 的最大的零点 ，
下面讨论 的零点情况，
∵ ．
易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
由题知 必有两个零点，
∴ ，解得 ，
∴ ，即 ．…………………………………………………………3分
∴ ．…………………1分
又 ．
．
．
，得证．……………………………………………………………1分
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