汕尾市2015届高三学生调研考试
数学（理科）试题 2014.12.24
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复平面内表示复数 的点位于（ ）
A .第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D. 第四象限
3. 已知 为等差数列，且 ，则 的值为（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
4．以下四个函数 中，奇函数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．中心在原点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线与直线 平行，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6. 已知向量 ,且 , 则实数 （ ）
A. B. 3 C. D. 0
7. 已知直线 平面 ，直线 平面 ，则下列四个结论：
①若 ，则 ②若 ，则
③若 ，则 ④若 ，则 。 其中正确的结论的序号是（ ）
A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
8. G是一个非空集合，“0”为定义G中任意两个元素之间的二元代数运算，若G及其运算满足对于任意的 ，则 ，那么就说G关于这个“0”运算作成一个封闭集合，如集合 对于数的乘法作成一个封闭集合。以下四个结论：
①集合{0}对于加法作成一个封闭集合
②集合 为整数}，B对于数的减法作成一个封闭集合
③集合 ，C对于数的乘法作成一个封闭集合
④令 是全体大于零的实数所成的集合， 对于数的乘法作成一个封闭集合
其中，正确结论的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）
（一）（必做题）：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答
9． 在 中，角A、B、C的对边分别为 ，若 的面积 ，则 边长 ．
10. 如图（1）所示的程序框图表示求算式“ ”的值，则判断框内可以填入 ( )
11. 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为
12. 不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
13. 直线 与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14. 已知圆C的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为 ，则圆心到直线 的距离等于
15. 如图（3）所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D， ，圆O的半径
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （本题满分12分）
已知函数
(1) 求 的值
(2) 若 ，求 。
17.（本小题满分12分）
某工厂招聘工人，在一次大型的招聘中，其中1000人的笔试成绩的频率分布直方图如图（3）所示，按厂方规定85分以上（含85分）可以直接录用。
（1）下表是这次笔试成绩的频数分布表，求正整数 的值；
区间
人数 50
350 300
（2）现在用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的笔试成绩进行分析，求可以直接录用的人数；
（3）在（2）中抽取的40名招聘的人中，随机选取2名参加面试，记“可以直接录用的人数”为X，求X的分布列与数学期望。
18．（本小题满分14分）
如图（4），在三棱柱 中，侧面 均为正方形，
，点 是棱 的中点。
(1) 求证： 平面 ；
(2) 求证： 平面 ；
(3) 求二面角 的余弦值。
19.（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列 的前 项和为 满足 ．
（1）求 的值；
（2）求 的通项公式；
（3）求证： 。
20.（本小题满分14分）
椭圆 过点 ， 分别为椭圆的左右焦点且 。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在 轴上的圆，使圆在 轴的上方与椭圆交于 两点（ 在 的左侧）， 和 都是圆的切线且 ？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由。
21.(本题满分14分)
已知函数 的极值点为 和
（1）当 时，求函数 的增区间
（2）当 时，求函数 在 上的最大值。
注：官方答案有错，更正：12.5
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