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2015安徽宣城八校高三联考数学理试题及答案

来源:3773高考 2014-12-26 20:22:36

宣城市八校2015届高三上学期联考数学(理)试题

 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分150分,考试时间120分钟。
    考试范围:集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列。
考生注意事项:
    1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
    2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦十净后,冉选涂其他答案标号。
    3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体T整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后冉用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。
    4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题  共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设i是虚数单位,复数
    (A) 3-2i     (B) 3+2i     (C)2—3i     (D) 2+3i
(2)若集合A= ,且A B.则实数a的取值范围是
    (A)( ,-2]    (B)[-2,2]     (C)[-2, )    (D)[2,  )
(3)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若a3=7,S3=21,则数列{an}的公比是
    (A)      (B)1     (C) 或1     (D)- 或1
(4)设a>1, 则函数 的图像大致为
 

 

(5)若非直角△ABC的内角A、B、C成等差数列,则tanA+tanC-tanAtanBtanC=
 (A)  (B)   (C)  (D)
(6)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时f(x)= ,则f(f(-24))=
 (A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4
(7)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a2+2a4+5a6=48,则S9=
 (A)36 (B)45 (C)54 (D)63
(8)已知向量a=(0,sin ),b=(1,2cos ),函数f(x)= a•b,g(x)=a2+b2- ,则f(x)的图像可由g(x)的图像经过怎样的变换得到
 (A)向左平移 个单位长度     (B)向右平移 个单位长度
 (C)向左平移 个单位长度     (D)向右平移 个单位长度
(9)已知a、b为正实数,直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切,则 的取值范围是
 (A)(0, ) (B)(0,1) (C)(0, ) (D)
(10)在△ABC中,若(4 )⊥ ,则sinA的最大值为
 (A)  (B)  (C)  (D)
第Ⅱ卷(非选择题  共100分)
考生注意事项:
    请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.
(11)已知向量a与b的夹角为60o,且|a|=1,|b|=2,则|a-b|=            。
(12)由曲线y=x2-2x与直线y=x围成的封闭图形的面积为               。
(13)设集合An={x|2n<x<2n+l,且x=5m+3,m、n∈N*),则A5中各元素之和为               .
(14)已知数列{an}的各项都是正数,其前n项和Sn满足2Sn=an+ ,n∈N*,则数列{an}的通项公式为               .
(15)设非直角△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,则下列结论正确的是         (写出所有正确结论的编号).
    ①“sinA>sinB”是“a>b”的充分必要条件
    ②“cosA<cosB”是“a>b”的充分必要条件
    ③“tanA>tanB是“a>b”的充分必要条件
    ④“sin2A>sin2B”是“a>b”的充分必要条件
    ⑤“cos2A<cos2B”是“a>b”的充分必要条件
三、解答题:本大题共6小题,共75余.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(16)(本小题满分12分)
      设函数f(x)=sinxcos(x+ )+ ,x∈R.
    (I)求f(x)的最大值及最小正周期;
    (Ⅱ)若斜率为 的直线与f(x)相切,求其切点坐标.

 

(17)(本小题满分12分)
      已知a>0,a≠1,设命题p:函数y=loga x在(0,+∞)上单凋递增;命题q:函数y=|x+2a|-|x|对任意x∈R满足-1< y<l.若“p q”为真命题,“p q”为假命题,求a的取值范围.

 


(18)(本小题满分12分)
    设△AB(的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且cos2 B+cosB+cos(A-C)=1.
    (I)证明:a、b、c成等比数列;
    (Ⅱ)若a+c=b,cosB= ,求△ABC的面积.

 

(19)(本小题满分13分)
      已知数列{an}满足al=2,an+l=2a ,n∈N*.
    (I)证明:数列{1+ log2an}为等比数列;
    (Ⅱ)证明:

 


(20)(本小题满分13分)
     设函数f(x)=ax-ex,a∈R,e为自然对数的底数.
    (l)若函数f(x)存在两个零点,求a的取值范围;
    cn)若对任意x∈R,a>0.f(x)≤a2-ka恒成立,求实数k的取值范围.

 

 

(21)(本小题满分13分)
     右图中的杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》.它有很多奇妙的性质,如每个数等于它肩上两数之和.记图中从上到下第i行从左到右第j个数为(i,j).数列{an}的前n项和Sn=(n+2,3),n∈N*.
    (I)求数列{an}的通项公式;
    (Ⅱ)设bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn证明:1≤Tn<2.
 

 

 

 

 

 

 

 

参考答案
题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
答案 A C D D A B C D A B
(1)A  解析:
(2)C  解析:若a>2,A=(2,a]满足条件,若a=2,A= 满足条件,若a<2,A=[a,2),使A⊆B,只需a≥-2,故选C.
(3)D  解析:设数列 的公比为q,则 解得 或1.
(4)D  解析:令a=2,当x=2时,y=13,排除B、C,当x=-2时,y=-43,排除A,故选D.
(5)A  解析: ∴
 故选A.
(6)B  解析: ,则 .
(7)C  解析:48=a2+2a4+5a6= S9=9(a1+a9)2=9a5=54.
(8)D  解析:f (x)=32a•b=32×2sinx2cosx2=32sinx,g(x)=a2+b2-72=sin2x2+1+4cos2x2-72=3cos2x2-32
=3×1+cosx2-32=32cosx=32sin(π2+x),故选D.
(9)A  解析:y′=1x+b=1,x=1-b,切点为(1-b,0),代入y=x-a,得a+b=1,∵a、b为正实数,∴a∈(0,1), ,令 ∴a22+b∈(0,12).
(10)B  解析:0=(4 →AB- →AC)• →CB=(4 →AB- →AC)•( →CA+ →AB)=4 →AB2+ →AC2-5 →AC• →AB=4 →AB2+ →AC2-
5| →AC|•| →AB|cosA≥4| →AC|•| →AB|-5| →AC|•| →AB|cosA,∴cosA≥45,sinA≤35.
(11)   解析: .
(12)   解析:画出简图知封闭图形的面积
(13)336  解析: 中的各元素构成以33为首项,以5为公差的等差数列,共有7项,∴ 中各元素之和为
(14)   解析:当n=1时,2S1=a1+1a1=2a1,a1=1,当n≥2时,2Sn=Sn-Sn-1+1Sn-Sn-1,即Sn+Sn-1=1Sn-Sn-1, ,又  S2n=n,Sn=n,  .
(15)①②⑤  解析:由①sinA>sinB,利用正弦定理得 a=2rsinA,b=2rsinB,故sinA>sinB ,等价于
a>b,①正确;由②cosA<cosB,利用函数 在 上单调递减得 ,等价于a>b,②正确; 由③tanA>tanB,不能推出a>b,如A为锐角,B为钝角,虽然有tanA>tanB,但由大角对大边得a<b,③错误;由④sin2A>sin2B,不能推出a>b,如 A=45°,B=60°时,虽然有sin2A>sin2B,但由大角对大边得a<b,④错误;由⑤cos2A<cos2B,利用二倍角公式得sin2A>sin2B,∴sinA>sinB,故等价于a>b,⑤正确.
(16)解析:(Ⅰ)f (x)=sinx(12cosx-32sinx)+34=14sin2x-32•1-cos2x2+34=12sin(2x+π3),
∴f (x)的最大值为12,最小正周期为π.(6分)
(Ⅱ)f ′(x)=cos(2x+π3),令cos(2x+π3)=12,则2x+π3=2kπ±π3(k∈Z),即x=kπ或x=kπ-π3(k∈Z),故其切点坐标为(kπ,34)或(kπ-π3,-34)(k∈Z).(12分)
(17)解析:若p为真命题,则a>1.
若q为真命题,由 得 ,
∴2a<1,0<a<12.(6分)
又“p⋁q”为真,“p⋀q”为假,则p、q中一真一假.
当p真q假时,a>1;当p假q真时,0<a<12.
故a的取值范围是(0,12)∪(1,+∞).(12分)
(18)解析:(Ⅰ)由已知得1-2sin2B+cosB+cos(A-C)=1,
cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,即2sinAsinC=2sin2B.
由正弦定理知b2=ac,∴a、b、c成等比数列.(6分)
(Ⅱ)由余弦定理知 ,而sinB=74,
故 的面积 (12分)
(19)解析:(Ⅰ)两边取以2为底的对数得log2an+1=1+2log2an,则log2an+1+1=2(log2an+1),
∴{1+log2an}为等比数列,且log2an+1=(log2a1+1)×2n-1=2n.(6分)
(Ⅱ)11+log2an=12n,
设M=11+log2a1+21+log2a2+…+n1+log2an=12+222+…+n2n,则12M=122+223+…+n2n+1,
两式相减得12M=12+122+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1<1,则M<2,结论成立.(13分)
(20)解析:(Ⅰ)f ′(x)=a-ex.
当a≤0时,f ′(x)<0,f (x)在R上单调递减,最多存在一个零点,不满足条件;
当a>0时,由f ′(x)=0解得x=lna,当x>lna时,f ′(x)<0,当x<lna时,f ′(x)>0.
故f (x)在x=lna处取得最大值f (lna)=alna-a,
∵f (x)存在两个零点,∴f (lna)=alna-a>0,a>e,即a的取值范围是(e,+∞).(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x) ≤alna-a,故只需alna-a≤a2-ka,k≤a+1-lna.
令g(a)= a+1-lna,g′(a)= 1-1a,当a>1时,g′(a)>0;当a<1时,g′(a)<0.
故g(a)在a=1处取得最小值2,则k≤2,即k的取值范围是(-∞,2].(13分)
(21)解析(Ⅰ)观察知数列 是首项为1公差为1的等差数列.
而 时, ,∴ = .
又 =1时, =1也适合上式. .(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 , .(9分)
 
 
 是递增数列,又  (13分)
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