德阳市高中2015届高三一诊模拟考试（一）
数 学（文史类）
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
2．复数
（A） （B） （C） （D）
3．下列说法正确的是
（A）“ ”是“函数 是奇函数”的充要条件
（B）若 ， ，则 ，
（C）若 为假命题，则p，q均为假命题
（D）“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”
4．以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则 的值分别为
（A） 5,2 （B）5,5 （C） 8,5 （D）8,8
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为( )
（A）－19 （B） 13 （C）1 （D）72
6．已知不等式组 （其中 ）表示的平面区域的面积为4，点 在该平面区域内，则 的最大值为
（A）9 （B）6 （C）4 （D）3
7．函数 的零点个数为( )
（A）2 （B）1 （C）3 （D）0
8．已知实数 ，执行如右图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为
（A） （B） （C） （D）
9．设P是双曲线 上除顶点外的任意一点， 、 分别是双曲线的左、右焦点，△ 的内切圆与边 相切于点M，则
（A）5 （B）4 （C）2 （D）1
10．已知函数 ，若 ， 为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 ，则 ______．
12．在Rt△ABC中， ， ， ，则 _____．
13．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是_____．
14．若两正数 ， 满足 ，则 的最大值为
15．设 表示不超过 的最大整数，如： ， ．给出下列命题：
①对任意实数 ，都有 ；
②若 ，则 ；
③ ；
④若函数 ，则 的值域为 ．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题：共6大题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知{an}是首项为1，且满足 ，Sn表示{an}的前n项和．
(1)求an及Sn；
(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
17．（本小题满分12分）设平面向量 ， ，函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的取值范围；
（Ⅱ）当 ，且 时，求 的值．
18．（本小题满分12分）某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；
（Ⅱ）该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．
19．（本小题满分12分）已知数列 的前n项和为 满足： ．
（Ⅰ）求证：数列 是等比数列；
（Ⅱ）令 ，对任意 ，是否存在正整数m，使 都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知函数 (其中 为自然对数的底数)的定义域为 .
（I）求函数 在 （ ）上的最小值；
（Ⅱ）对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
21．（本小题满分14分）已知函数 ( 为实数).
（I）当 时，求函数 的最小值；
（II）若方程 (其中 为自然对数的底数)在区间[0.5，2]上有解，求实数 的取值范围.
（III）若 ，当 存在两个极值时，求 的取值范围，并证明两个极值之和小于 .
2015届高三一诊模拟考试（一）
数学参考答案及评分意见（文史类）
一、选择题：CADCD，BACBD．
二、填空题：11. －6；12. 2；13. ；14. 2； 15.①②④.
三、解答题：共6大题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16． 解：(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以
an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n（a1＋an）2＝n（1＋2n－1）2＝n2. ……………6分
(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，
所以(q－4)2＝0，从而q＝4.
又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，
所以bn＝b1qn－1＝2×4n－1＝22n－1.
从而{bn}的前n项和Tn＝b1（1－qn）1－q＝23(4n－1)．……………12分
17．解析：（Ⅰ） 1分
． 3分
当 时， ，则 ， ，
所以 的取值范围是 ． 6分
（Ⅱ）由 ，得 ， 7分
因为 ，所以 ，得 ， 9分
． 12分
两段可以合并，所以 …………………(12分)
18．解析：（Ⅰ）设平均成绩的估计值为 ，则：
． 6分
（Ⅱ）该校学生的选拔测试分数在 有4人，分别记为A，B，C，D，分数在 有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），
（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个．
故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为 ． 12分
19．解析：当 时， ，解得 ， 1分
当 时，由 得 ， 2分
两式相减，得 ，即 ， 3分
则 ，故数列 是以 为首项，公比为3的等比数列． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
， 6分
所以 ， 7分
则 ， 8分
由 对任意 都成立，得 ，
即 对任意 都成立，又 ，
所以m的值为1，2，3． 12分
20．解析：
解： ， …………1分
令 得 ；令 得
所以，函数 在（0，1）上是减函数；在 上是增函数 …………2分
（I）当 时，函数 在[m,m+1]（m>0）上是增函数，
所以， …………4分
当 时，函数 在[m,1]上是减函数；在[1,m+1] 上是增函数
所以， 。 …………6分
（Ⅱ）由题意，对 ，不等式 恒成立
即 恒成立 …………8分
令 ，则 …………10分
由 …………12分
所以， 。 所以， . …………13分
21．解析：
（Ⅰ）当 时， ，则
∵在区间（0，1]上， ，在区间[1，+∞）上，
∴ 在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增
∴ 的最小值为 ．……………4分
（Ⅱ）∵方程 在区间 上有解
即 在区间 上有解，
即 在区间 上有解......................6分
令 ，x∈ ∴
∵在区间 上， ，在区间 上，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ∴
即 ………………9分
（Ⅲ）∵
当 即 时， 存在极值................11分
设函数 的极值点为 则 的极值为
则
...........................14分
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