临沂市卧龙中学2015届高三上学期第三次月考
数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合 ，则 ( )
A． B． C． D．
2、若 为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3、“直线 ”是“函数 图象的对称轴”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、设等差数列 的前n项和为 ，已知 ，当 取得最小值是， （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5、若函数 的大致图象如右图所示，则函数 的大致图象为（ ）
6、已知 ， 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．若 , ,且 ,则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则
7、若实数 满足不等式 ，且目标函数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8、已知圆 与抛物线 的准线相切，则m=
A± B ±2 C D
9、已知函数 在 上有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、 [2014•全国卷] 双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于( )
A．2 B．2 2 C．4 D．4 2
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、已知数列 的前n项和 ，则 的通项公式
12、已知向量 满足 ，则 与 的夹角为
13、 .
14、 [2014•山东卷] 已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．
15、已知定义在R上的偶函数 ，且当 时， 单调递减，给出以下四个命题：
①
②直线 为函数 的一条对称轴；
③函数 在 上单调递增；
④若方程 在 上两根 ，则 。
以上命题正确的是 （请把所有正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
如图，已知 平面 ，
且 是 的中点。
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 。
17、（本小题满分12分）
已知向量 ，函数 。
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，求
18、（本小题满分12分） 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
19、（本小题满分12分）
已知 是等比数列 的前n项和， 成等差数列，16是 和 的等比中项。
（1）求 的通项公式；
（2）若等差数列 中， ，前9项和等于27，令 ，求数列 的前n项和 。
20.（本小题满分13分）
已知椭圆 ，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率.
（I）求椭圆C2的方程；
（II）设直线 与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为 ，点 在线段AB的垂直平分线上，且 ，求直线 的方程.
21、（本小题满分14分）
已知函数 。
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，讨论函数 零点的个数；
（3）若 ，当 时，求证：
18．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.
故椭圆C的离心率e＝ca＝22.
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以OA→•OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.
又x20＋2y20＝4，所以
|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝x0＋2y0x02＋(y0－2)2＝x20＋y20＋4y20x20＋4
＝x20＋4－x202＋2（4－x20）x20＋4＝x202＋8x20＋4 (0＜x20≤4)．
因为x202＋8x20≥4(0＜x20≤4)，当x20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为22.
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