2014—2015学年新野三高高三第四次阶段性考试
数学试题（理）
命题人： 时间：2014.12.10
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知全集为R，集合A={ }，B={ }，A∩（CRB）=
A．[0，2) B．[0，2] C．(1，2) D．(1，2]
2．若复数 满足 ，则
A． B． C．2 D．
3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）
4.已知 是两条不同的直线， 是一个平面，且 ∥ ，则下列命题正确的是( )
（A）若 ∥ ，则 ∥ （B）若 ∥ ，则 ∥
（C）若 ，则 （D）若 ，则
5.设 为公差不为零的等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A.15 B.17 C.19 D.21
6. 平面向量 与 的夹角为60°， 则 （ ）
A． B. C.4 D.12
7.函数 在一个周期内的图象如图所示， A ，B在y轴上，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称， 在x轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )
A．ω＝2，φ＝π3 B．ω＝2，φ＝π6
C．ω＝12，φ＝π3 D．ω＝12，φ＝π6
8．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以 平面为投影面的正视图的面积为
A． B． C． D．
9.函数 的部分图象为
10.三棱锥S—ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：
①异面直线SB与AC所成的角为90°.
②直线SB⊥平面ABC；
③平面SBC⊥平面SAC；
④点C到平面SAB的距离是12a.
其中正确的个数是（ ）．
A.1 B.2 C.3 D.4
11已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB =1:2，AB⊥平面 ，H为垂足， 截球O所得截面的面积为 ，则球O的表面积为
A． B．4 C． D．
12.设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13.已知在正方体 中，点E是棱 的中点，则
直线AE与平面 所成角的正切值是 .
14．己知x>0，y>0，且 ，则x+y的最大值是______.
15. 设 满足约束条件 ，则 所在平面区域的
面积为___________.
16已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）
已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
18（本小题满分12分）
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S＝ accosB
（1）若c＝2a，求角A，B，C的大小；
（2)若a＝2，且 ，求边c的取值范围．
19（本小题满分12分）
在直三棱柱ABC -A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上．
(1) 若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD；
（2）当 时，求二面角 的余弦值．
20（本小题满分12分）
己知向量 ，记 .
(I)若 ，求 的值；
( II)在锐角 ABC申，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足( ,
求函数 的取值范围．
21（本小题满分12分）
如图，设四棱锥 的底面为菱形，且∠ ， ， 。
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所夹角的余弦值。
22. （本小题满分12分）
已知函数 .
（I）求函数 的最大值；
（Ⅱ）设 证明 有最大值 ，且-2＜t＜-1.
第四次阶段性考试数学（理）参考答案
一、选择题
1.答案A 2．B 3．答案A 4. 答案D 5.答案A
6. 【答案】B
【解析】因为平面向量 与 的夹角为60°， 所以 ，所以 。
7. 答案: A
8．【答案】A
【解析】设O（0，0，0），A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，1），易知该四面体中以 平面为投影面的正视图为直角梯形OABC,其中OA=1，AB=2，OA=2，所以S=3.
9.答案A
10.【解析】 由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离12a，④正确． 【答案】D
11 答案C 12. 答案D
二填空题
13.答案3 14．答案4 15.【答案】
16【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，所以a∈(－1,0)． 【答案】 (－1,0)
三解答题
17（10分）
解：（Ⅰ）当 时，由 得： ． 当 时， ① ；
② 上面两式相减，得： ．
所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列． 得： ．……5分
（Ⅱ） ． ． ……8分
(10分)
18.（12分）解:由三角形面积公式及已知得
化简得 即 又 故 .………………………3分
（1）由余弦定理得, ∴
∴ ,知 ………………………………………6分
（2）由正弦定理得 即
由 得
又由 知 故 ……………………………………12分
19（本小题满分12分）
解: (1) 证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE．
因为 直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，
所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以 DE// AC1．
因为 DE 平面B1CD， AC1 平面B1CD，所以 AC1∥平面B1CD．
……… 6分
（2）由（1）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 4, 4)，B1 (3, 0, 4)．设D (a, b, 0)（ ， ），因为 点D在线段AB上，且 ，即 ．
所以 ， ， ， , ．
平面BCD的法向量为 ． 设平面B1 CD的法向量为 ，
由 ， ， 得 ，
所以 ， ， .所以 ．
所以二面角 的余弦值为 ．……… 12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） = =
因为 ，所以 …………………………………4分
…6分
（Ⅱ）因为
由正弦定理得 ……………………7分
所以 所以
因为 ，所以 ，且
所以 ………8分 所以 ……9分
所以 ……………………10分
又因为 = 所以 ……11分
故函数 的取值范围是
21. （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连接 ，取 的中点 ，连接 、 ， ， ， ， ，又四棱锥 的底面为菱形,且∠ ， 是是等边三角形， ，又 ， ， ， 面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，分别以 为 轴、 轴、 轴的正半轴建立建立空间直角坐标系。则面 的一个法向量 ， ， ， ， ，设面 的法向量 ，则 ， ，令 ，则 ，由 ，设平面 与平面 所夹角的大小为 ，则
22题。（本小题满分12分）
（Ⅰ）f(x)＝－xex．
当x∈(－∞，0)时，f(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＜0，f(x)单调递减．
所以f(x)的最大值为f(0)＝0． …4分
（Ⅱ）g(x)＝(1－x)ex－1x，g(x)＝－(x2－x＋1)ex＋1x2．
设h(x)＝－(x2－x＋1)ex＋1，则h(x)＝－x(x＋1)ex．
当x∈(－∞，－1)时，h(x)＜0，h(x)单调递减；
当x∈(－1，0)时，h(x)＞0，h(x)单调递增；
当x∈(0，＋∞)时，h(x)＜0，h(x)单调递减． …7分
又h(－2)＝1－7e2＞0，h(－1)＝1－ 3 e＜0，h(0)＝0，
所以h(x)在(－2，－1)有一零点t．
当x∈(－∞，t)时，g(x)＞0，g(x)单调递增；
当x∈(t，0)时，g(x)＜0，g(x)单调递减． …10分
由（Ⅰ）知，当x∈(－∞，0)时，g(x)＞0；当x∈(0，＋∞)时，g(x)＜0．
因此g(x)有最大值g(t)，且－2＜t＜－1． …12
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