成都示范性高中高2012级（高三）12月月考数学试题
理科
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1、复数 为纯虚数，若 ( 为虚数单位)，则实数 的值为( D )
A． B．2 C． D．
2、在锐角△ 中，角 所对应的边分别为 ，若 ，则角 等于( A )
A. B. C. D.
3、已知等差数列 中， 是方程 的两根，则 （ D ）
A． B． C．1007 D．2014
4、若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的B等于（ A ）
A．63 B．31 C．127 D．15
5、若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，
则m＝( C )
A．21 B．19 C．9 D．－11
6、已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( B )
A.16 B.36 C.13 D.33
7、已知函数 （其中 ），其部分图像如下图所示，将 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到 的图像，则函数 的解析式为（ B ）
A. B.
C. D.
8、已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( C )
A．5 B．29 C．37 D．49
9、已知P是以F1，F2为焦点的椭圆 上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα= ，sin(α+β)= ，则此椭圆的离心率为（ D ）
A B C D
10．设函数 有两个极值点 ，且 ，则（ D ）
A B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.
11、已知集合 ，集合 为整数集，则 .
12、已知 10
13、已知向量 ，向量 ，则 在 方向上的投影为__2___
14、已知函数 ，则 _4028_.
15、已知下列五个命题：
①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的 ，其体积缩小到原来的 ；
②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；
③直线 与圆 相切；
④“ ”是“ ”的充分不必要条件.
⑤过M（2,0）的直线l与椭圆 交于P1P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于－
其中真命题的序号是：1，3，5
三、解答题：大题共6小题，共75分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分）已知函数 ， 三个内角 的对边分别为 .
（I）求 的单调递增区间及对称轴的方程；
（Ⅱ）若 ，求角 的大小.
解：（I）因为
令 解得
所以函数 的单调增区间为 ，
对称轴的方程
(Ⅱ) 因为 所以 ，
又 ，
所以 ，
所以
由正弦定理
把 代入，得到
又 ，所以 ，所以
17、成都市海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品中来自C地区的样品数X的分布列及数学期望。
解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.
（2） 由题意可知X可为0，1，2.
则
x 0 1 2
p
则
18、已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）证明：BN⊥平面C1B1N； （2）求二面角 的正弦值
18.解（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
则
,
,
(2)以B为原点，BA为x轴，BB1为Y轴，BC为Z轴建立空间直角坐标系
可得二平面的法向量 。 则所求值为
19、已知数列 满足： ， .数列 的前 项和为 ， .
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， .求数列 的前 项和 .
解：（Ⅰ）由 得 ，又 ，
所以 是以1为首项， 为公差的等差数列，则 ， .
当 时，
当 时， ，
，
又 时 ，所以 ， .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ， ，所以 .
所以 ………(1)
等式两边同乘以 得
………(2)
(1)-(2)得
所以 .
20、（本小题满分13分）已知椭圆C: 的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）若直线L： 与椭圆C相交于A、B两点，且
求证： 的面积为定值
解：（Ⅰ）由题意得， ， ，又 ，
联立解得 ， 椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设 ， 则A,B的坐标满足
消去y化简得，
， ， 得
= 。
， ，即
即
= 。O到直线 的距离
=
= = 为定值.
21、设函数 .
(1)若函数 在 处有极值，求函数 的最大值；
(2)是否存在实数 ，使得关于 的不等式 在 上恒成立？
若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)记 ，证明：不等式 ．
21．解析：（1）由已知得： ，且函数 在 处有极值
∴ ，即 ∴
∴
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
∴函数 的最大值为
（2）由已知得：
①若 ，则 时，
∴ 在 上为减函数，
∴ 在 上恒成立；
②若 ，则 时，
∴ 在 上为增函数，
∴ ，不能使 在 上恒成立；
③若 ，则 时， ，
当 时， ，∴ 在 上为增函数，
此时 ，
∴不能使 在 上恒成立；
综上所述， 的取值范围是
(3) 由（1）、（2）得：
取 得：
令 ，
则 ， .
因此 .
又 ，
故
因此 .
又 ，
故
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