庐江县部分示范高中2015届高三第三次联考
数学（理科）试卷
(满分150分，考试时间120分钟)
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一.选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1、若复数z满足方程 ，则 ( )
A. B. C. D.
2、已知命题：p 所有的素数都是奇数，则命题 ¬p是( )
(A) 所有的素数都不是奇数 (B) 有些的素数是奇数
(C) 存在一个素数是奇数 (D) 存在一个素数不是奇数
3、变量 满足约束条件 则 的最大值为( )
A．-3 B．0 C．1 D．3
4、函数f(x)＝32cos 2x＋sin xcos x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，2 B．π，1 C．2π，1 D．2π，2
5、已知e是自然对数的底数，函数 的零点为a，函数 的零点为b，则下列不等式中成立的是( )
A． B.
C. D.
6、已知a>0，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是( )
A．ab＝AG B．ab≥AG C．ab≤AG D．不能确定
7、钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=( )
A. 5 B. C. 2 D. 1
8、数列 的前 项和为Sn ,且满足 ,（ ）则Sn等于 （ ）
A. B. C. D.
9、函数y＝f (x)定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f (x＋a)－f (x)都是其定义域上的增函数，则函数y＝f (x)的图象可能是( )
10、已知关于x的不等式 有且只有一个实数解，函数 ， ，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数t的取值范围是( )
A．(0,8) B．(0,2) C．(2,8) D．(-∞,0)
第Ⅱ卷（非选择题 ，共100分）
二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卷相应位置上。)
11、已知 ，则实数 的取值范围为 ．
12、已知等比数列 的首项为8， 是其前n项的和，某同学经计算得 ，后来该同学发现其一个数算错了，则该数为________。
13．已知两个非零向量 与 ，定义 ，其中 为 与 的夹角．若 , ，则 的值为________．
14、已知 ，函数 若函数 在 上的最大值比最小值大 ，则 的值为 .
15、已知函数 (x∈R).下列命题中：
①由 =0，可得 必是π的整数倍；
②y =f(x)的表达式可改写成 ；
③y =f(x)的图象关于点 对称；
④y =f(x)的图象关于直线x = 对称.
其中，正确命题的序号为 .
三、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。）
16、（本题12分）在△ 中， 分别是角 所对的边，满足 ，
（1）求角 的大小；
（2）设 ， ，求 的最小值
17、（本题12分）已知二次函数 有两个零点 和 ，且 最小值是 ，函数 与 的图象关于原点对称.
(1)求 和 的解析式；
(2)若 在区间[－1,1]上是增函数，求实数 的取值范围．
18、（本题12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米.
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.
19、（本题12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1
20、（本题13分）设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex >x2－2ax＋1.
21、（本题14分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：an＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n＋1，求数列{bn}的通项公式；
(3)令cn＝anbn4(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
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数学（理科）参考答案
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B A C B B A A
二、 填空题
11、 12、S3 （填S3=36，或36均正确） 13、6
14、 或 15、 (2)(3)
三、解答题
16：解：(1)在△ 中，由余弦定理 ，
又 ……………6分
(2)
又 当 时， 取最小值 ………12分
17：解： (1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0).
f(x)图象的对称轴是x＝－1，
∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1.
∴f(x)＝x2＋2x.
由函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，
∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x. ………………5分
(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.
①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；
②当λ<－1时，h(x)图象的对称轴是x＝λ－1λ＋1，
则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1；
③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0. ………………11分
综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]. ………………12分
18：解：设AN的长为x米（x>2）,
因为 ，所以|AM|= ，所以SAMPN=|AN|•|AM|= .……2分
（1）由SAMPN>32得 >32.因为x>2，所以3x2-32x+64>0，
即（3x-8）(x-8)>0,所以2<x< 或x>8,
即AN的长的取值范围是 ∪（8，+∞）. ………………6分
（2）y= =
………………10分
当且仅当3(x-2)= ，即x=4时，y= 取得最小值.
即SAMPN取得最小值24平方米. ………………12分
19：证明：充分性：当q＝－1时，a1＝S1＝p＋q＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．当n＝1时也成立，
∴an＝pn－1(p－1)(n∈N*)．
于是an＋1an＝pn(p－1)pn－1(p－1)＝p(n∈N*)，即数列{an}为等比数列．……………6分
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0，且p≠1，
∴an＋1an＝pn(p－1)pn－1(p－1)＝p.
∵{an}为等比数列，
∴a2a1＝an＋1an＝p，p(p－1)p＋q＝p，[
即p－1＝p＋q.∴q＝－1.
综上所述，数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1. ………………12分
20：解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 2(1－ln 2＋a) 单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
………………6分
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
故ex－x2＋2ax－1>0，即ex>x2－2ax＋1. ………………13分
21：解： (1)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式
∴数列{an}的通项公式为an＝2n. ………………4分
(2)an＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n＋1(n≥1)①
∴an＋1＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n＋1＋bn＋13n＋1＋1②
②－①得，bn＋13n＋1＋1＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)，b1=8
故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)． ………………8分
(3)cn＝anbn4＝n(3n＋1)＝n•3n＋n，
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)
令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①
则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②
①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝31－3n1－3－n×3n＋1
∴Hn＝2n－1×3n＋1＋34，
∴数列{cn}的前n项和
Tn＝2n－1×3n＋1＋34＋nn＋12. ………………14分
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