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揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：棱锥的体积公式： ．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集 ， ，则
A. B. C. D.
2．若 ，其中a、b∈R，i是虚数单位，则 =
A． B． C． D．
3．已知点A 和向量 =（2,3），若 ，则点B的坐标为
A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5，14)
4．在等差数列 中，首项 公差 ，若 ，
则 的值为
A．37 B．36 C．20 D．19
5．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图
如图(1)示，则该几何体的体积为
A.7 B. C. D. 图（1）
俯视图
6．已知函数 ,则 的图象大致为
7．某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为
A.18 B.24 C.30 D.36
8.设 是定义在（0,1）上的函数，对任意的 都有 ，记 ,则 =
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9－13题）
9．若点 在函数 的图象上，则 的值为 ．
10．过双曲线 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .
11．某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件
1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使
用寿命（单位：小时）均服从正态分布 ，且各个 图（2）
元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．
12．已知函数 ．若命题：“ ，使 ”是真命题，则实数 的取值范围为 ．
13．已知点 满足 则点 构成的图形的面积为 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线 过圆C： 的圆心C，且与直线OC垂直，则直线 的极坐标方程为 ．
15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）所示， 是半圆周上的两个
三等分点，直径 ， ，垂足为 ， 与 相交于
点 ，则 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ，
（1）求函数 的定义域；
（2）设 是第四象限的角，且 ，求 的值．
17. （本小题满分12分）
某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；
（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．
18．（本小题满分14分）
数列 中， ， （ 是常数， ），且 成公比不为 的等比数列．
（1）求 的值；
（2）求 的通项公式；
（3）求最小的自然数 ，使 ．
19．（本小题满分14分）
在图（4）所示的长方形ABCD中， AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点， M 、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=
把长方形ABCD沿EF折成大小为 的二面角A-EF-C，
如图（5）所示，其中
（1）当 时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论 怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当 且 时，求异面直线MN与AC所成角
的余弦值．
20. （本小题满分14分）
如图（6）已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，
圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角
为 的直线t，交 于点A，交圆M于点B,且 ．
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）设 是抛物线 上异于原点 的两个不同点，且
,求 面积的最小值； 图（6）
（3）在抛物线 上是否存在两点 关于直线 对称？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
设函数 在 上的最大值为 （ ）．
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对任意 （ ）,都有 成立．
揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一．选择题：BCDA DACC
解析：1．由 得 ， ，故选B．
2．由 得 ,选C．
3．设 ，由 得 ，所以选D．
4．由 得 ，选A．
5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为. ，故选D.
6．令 ，则 ，由 得 即函数 在 上单调递增，由 得 ，即函数 在 上单调递减，所以当 时，函数 有最小值， ，于是对任意的 ，有 ，故排除B、D,因函数 在 上单调递减，则函数 在 上递增，故排除C,所以答案选A.
7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是 ，顺序有 种，而甲乙被分在同一所学校的有 种，所以不同的安排方法种数是 ．故选C.
8. 因 ，故 ，故选C.
二．填空题：9. ；10. ；11. ；12. （或 ）；13.2；
14. （或 ）；15. .
解析：9．依题意得 ，则 = ．
10．双曲线 的右焦点为 ，渐近线的方程为 ，所以所求直线方程为 即 ．
11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布 得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为 ，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：
12．由“ ，使得 ”是真命题，得
或 .
13．令 ，则点 满足 ，在 平面内画
出点 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.
14．把 化为直角坐标系的方程为 ，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直的直线方程为 化为极坐标系的方程为 或
15.依题意知 ,则AD=2，过点D作DG 于G，则AG=BE=1，所以 .
