三．解答题：
16．解：（1）函数 要有意义，需满足： ，
解得 ，------------2分
即 的定义域为 -------------------------------------4分
（2）∵ --------6分
-------------------------------------------------8分
由 ，得 , 又
∴ ，∵ 是第四象限的角∴ ， ---------------------10分
∴ ．-----------------------------------------------------------12分
17. 解：（1）设 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，
依题意知，每次抽到二等品的概率为 ，------------------------------2分
故 . ------------------------------------------5分
(2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分
P(ξ＝0)＝C24C25•C23C25＝18100＝950， P(ξ＝1)＝C14C25•C23C25＋C24C25•C13•C12C25＝1225，
P(ξ＝2)＝C14C25•C13•C12C25＋C24C25•C22C25＝1550， P(ξ＝3)＝C14C25•C22C25＝125．-----------------------------10分
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 950
1225
1550
125
--------------------------------11分
数学期望为Eξ＝1×1225+2×1550+3×125=1.2．-------------------------------------------------------12分
18．解：（1） ， ， ， --------------------------------1分
∵ ， ， 成等比数列，∴ ， --------------------------------2分
解得 或 ． --------------------------------3分
当 时， ，不符合题意舍去，故 ．-------------------------------4分
（2）当 时，由 ， ，…… ，
得 ．--------------------------------6分
又 ， ，∴ ．-------------------------8分
当 时，上式也成立，∴ ．--------------------------------9分
（3）由 得 ，即 --------------------------10分
∵ ,∴ --------------------------------11分
令 ，得 ，令 得 ----------------------13分
∴使 成立的最小自然数 ．--------------------------------14分
19．解：（1）依题意得 平面 ， = -------2分
由 得， ,
∴ ----------------------------------------------------------------------4分
（2）证法一：过点M作 交BF于 ，
过点N作 交BF于 ，连结 ,------------5分
∵ ∴
又∵ ∴ --------------------------------7分
∴四边形 为平行四边形，--------------------------------------------------------8分
--------------------10分
【法二：过点M作 交EF于G，连结NG，则
--------------------------------------------------------------6分
，------------7分
同理可证得 ，又 , ∴平面MNG//平面BCF-------------9分
∵MN 平面MNG, ．----------------------------------------------------10分】
（3）法一：取CF的中点为Q，连结MQ、NQ，则MQ//AC，
∴ 或其补角为异面直线MN与AC所成的角，--------11分
∵ 且 ∴ ,
---------------------------------------------------------------------12分
即MN与AC所成角的余弦值为 ．--------------------------------14分
【法二：∵ 且
分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. --------------11分
则 ----12分
，……………………………………………13分
所以与AC所成角的余弦值为 ．…………………………………………………14分】
20. 解：(1)∵ ，即 ，
∴所求抛物线的方程为 --------------------------------2分
∴设圆的半径为r，则 ，∴圆的方程为 .--------------4分
(2) 设 ，由 得
∵ ，∴ ， --------------------------------6分
∵ ,∴ =
= =256
∴ ,当且仅当 时取等号，
∴ 面积最小值为 .-------------------------------------------9分
(3) 设 关于直线 对称，且 中点
∵ 在抛物线 上，∴
两式相减得： --------------------------------11分
∴ ，∴
∵ 在 上
∴ ，点 在抛物线外--------------------------------13分
∴在抛物线 上不存在两点 关于直线 对称. --------------------------14分
21．解：（1）解法1：∵ -------1分
当 时，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
∴ ， --------------------------------------------------3分
当 时，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
∴ ---------------------------------------------------5分
【解法2：当 时， ，则
当 时， ，即函数 在 上单调递减，∴ ，
当 时， ，则
当 时， ，即函数 在 上单调递减，∴ 】
（2）令 得 或 ，∵当 时， 且当 时 ，当 时 ，-----------------------7分
故 在 处取得最大值，即当 时， ,------（ ）------------------9分
当 时（ ）仍然成立，
综上得 -------------------------------------10分
（3）当 时，要证 ，只需证明 -------------------11分
∵
∴对任意 （ ）,都有 成立.--------------------------------14分
揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)完整下载！
