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揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试试题数学(文科)
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本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：棱锥的体积公式： ．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数 的定义域为
A. B. C. D.
2．若 ，其中a、b∈R，i是虚数单位，则 =
A． B． C． D．
3．已知点A 和向量 =（2,3），若 ，则点B的坐标为
A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5，14)
4．设函数 ，则函数的最小正周期为
A. B. C. D.
5．以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为
A. B. C. D.
6．在等差数列 中，首项 公差 ，若 ，则 的值为
A．37 B．36 C．20 D．19
7．设定义在[-1，7]上的函数 的图象如图（1）示，
则关于函数 的单调区间表述正确的是 图（1）
A.在[-1,1]上单调递减 B.在 单调递减，在 上单调递增；
C.在[5,7]上单调递减 D.在[3, 5]上单调递增
8. 一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图
如图(2)示，则该几何体的体积为
A.7 B. C. D. 图（2） 俯视图
9.若直线 平分圆 的周长，则 的取值范围是 A. B. C. D.
10．已知点 满足 则点 构成的图形的面积为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（9－13题）
11．若点 在函数 的图象上，则 的值为 ．
12．已知函数 ．若命题：“ ，使 ”是真命题，则实数 的取值范围为 .
13．对于集合M，定义函数 对于两个集合A，B，定义集合 . 已知 ， ，则用列举法写出集合 的结果为 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线 过圆C： 的圆心C，且与直线OC垂直，则直线 的极坐标方程为 ．
15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）示， 是半圆周上的两
个三等分点，直径 ， ，垂足为 ， 与
相交于点 ，则 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ，
（1）求函数 的定义域；
（2）设 是第四象限的角，且 ，求 的值．
17. （本小题满分12分）
某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试，
规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90
分以下(不包括90分)的则被淘汰．现有100人参
加测试，测试成绩的频率分布直方图如图（4）. 图（4）
(1)求获得参赛资格的人数；
(2)根据频率分布直方图，估算这100名学生
测试的平均成绩；
(3)现在成绩 、 （单位：分）
的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到
高编号为 ，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在 的概率．
18．（本小题满分14分）
数列 中， ， （ 是常数， ），且 成公比不为 的等比数列．
（1）求 的值；
（2）求 的通项公式．
19．（本小题满分14分）
如图（5），已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长
为1的正方形，M 、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．
（1）求证：平面ABCD 平面ADE；
（2）求证： MN//平面BCF；
（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．
20. （本小题满分14分）
如图(6)已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，
圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角
为 的直线t，交 于点A，交圆M于点B,且 ．
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）试探究抛物线 上是否存在两点 关于直线 图（6）
对称？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知 ，函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，证明：方程 在区间（2， ）上有唯一解；
（3）若存在均属于区间[1，3]的 且 ，使 = ，
证明： ．
