江门市2015届普通高中高三调研测试
数 学（文科）
本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．
注意事项：
⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
⒈设 ， ，则
A． B． C． D．
⒉
A． B． C． D．
⒊已知 是虚数单位，若复数 （ ， ）在复平面内对应的点位于第四象限，则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
⒋双曲线 的离心率
A． B． C． D．
⒌将正弦曲线 上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数的最小正周期
A． B． C． D．
⒍已知 是等比数列， ， ，则
A． B． C． 或 D．以上都不对
⒎函数 在其定义域上是
A．单调递增的奇函数 B．单调递增的减函数
C．偶函数且在 上单调递增 D．偶函数且在 上单调递减
⒏直线 经过点 且与圆 相切，则直线 的方程是
A． B．
C． D．
⒐某三棱锥的三视图如图1所示，这个三棱锥最长棱
的棱长是
A． B．
C． D．
⒑已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若直线 与函数 的图象有三个交点，则常数 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
(一)必做题（11～13题）
⒒抛物线 的准线方程为 ．
⒓若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为 ．
⒔已知定义在区间 上的函数 ，则 的单调递减区间是 ．
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕如图2，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且棱AB所在的直线与棱CD所在的直线互相平行，正方体的六个面所在的平面与直线CE、EF相交的平面个数分别记为 ， ，那么 ； ．
⒖若函数 满足条件：① ， ；② ， ；③ ．则⑴ ；（写出一个满足条件的函数即可）
⑵根据⑴所填函数 ， ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
⒗（本小题满分12分）
已知函数 ， ，且 ．
⑴求 的值；
⑵若 ， 是第二象限角，求 ．
⒘（本小题满分14分）
如图3，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的一点．
⑴求证：平面PAC⊥平面PBC；
⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P-ABC的体积．
⒙（本小题满分14分）
设数列 、 满足： ， ， ．
⑴求 的值；
⑵求数列 的通项公式；
⑶求数列 的前 项和 的值．
⒚（本小题满分12分）
某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12 m2的矩形，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5200元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
⒛（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦点为 、 ，且经过点 ．
⑴求椭圆 的标准方程；
⑵若点 在椭圆 上，且 ，求 的值．
21（本小题满分14分）
已知函数 （ ）．
⑴求曲线 在点 处的切线方程；
⑵是否存在常数 ，使得 ， 恒成立？若存在，求常数 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
评分参考
一、选择题 BBADC CABCD
二、填空题
⒒ （或等价方程） ⒓ ⒔ （或 ，端点对即给5分）
⒕4，4（填对任何一空给3分，全对给5分）
⒖ 或 或其他或 （其中 ）……第1空3分，第2空2分；
若第1空填诸如 或 ……本小题给2分
三、解答题
⒗解：⑴依题意， ……2分， ……3分， ……4分
⑵（方法一）由⑴得， ……6分
由 得， ……7分
， ……8分
……9分， ……10分
解得 或 ……11分
∵ 是第二象限角， ，∴ ……12分
（方法二）由⑴得， ……5分
由 得， ……6分
∵ 是第二象限角， ， ……7分，∴ 是第二或第三象限角（由 知 是第三象限角）， ……9分（列式1分，计算1分）
……11分
……12分
⒘证明与求解：⑴设⊙O所在的平面为 ，
依题意，PA ，BC ，∴PA BC……2分
∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，∴AC BC……3分
∵PA∩AC=A，∴BC 平面PAC……5分
∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC……7分
⑵∵PA ，∴三棱锥P-ABC的体积 ……9分
∵AB=2，∠ABC=30°，AC BC，∴AC=1，BC= ……11分
……13分
……14分
⒙解：⑴ ……2分
⑵ ……3分
……5分， ……6分
⑶由已知， ……8分
……10分
……13分， ……14分
⒚解：设房屋地面长为 m，宽为 m，总造价为 元（ ， ， ），则
……1分
……4分
∵ ，∴ ……5分
∵ ， ，∴ ……8分， ……9分
当 时……10分，即 时， 取最小值，最小值为34000元……11分
答：房屋地面长 m，宽 m时，总造价最低，最低总造价为 元……12分
⒛解：⑴（方法一）依题意，设椭圆 的标准方程为 （ ）……1分
……2分，
，∴ ……4分
……5分，∴ ……6分
椭圆 的标准方程为 ……7分
（方法二）依题意，设椭圆 的标准方程为 （ ）……1分
∵ ……2分，∴ ， ……3分
∵点 在椭圆C上，∴ ……4分
……5分，解得 或 （负值舍去）……6分
，椭圆 的标准方程为 ……7分
⑵ ……9分
点 的坐标为 ……10分
∵点 在椭圆 上，∴ ……11分
即 ……12分，解得 或 ……14分
21．解：⑴ ……1分，所求切线的斜率 ……2分
所求切线方程为 （或 ）……3分
即 ……4分
⑵（方法一）由 ，作函数 ，其中 ……5分
……6分
－ － 0 +
↘ ↘ 极小值 ↗
……9分（每行1分）
由上表可知， ， ； ，
……11分
由 ，当 时， ， 的取值范围为 ，当 时， ， 的取值范围为 ……13分
∵ ， 恒成立，∴ ……14分
（方法二） 时， 不符合题意……5分
时，解 得 ，
－ 0 + 0 －
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
……8分，由 ……10分，解得 ……11分
此时 ， ……12分
∴ ，即 ， ……13分
解 得 ，综上所述 ……14分
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