湖北省八校2015届高三上学期12月联考
数学（文）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．若复数 满足 ，则
A． B． C．i D．
2．已知函数 的定义域为M， 的定义域为N，则
A． B． C． D．
3．下列函数中，对于任意 R，同时满足条件 和 的函数是
A． B． C． D．
4．若幂函数 的图像经过点 ，则它在点A处的
切线方程是
A． B．
C． D．
5．如图给出的是计算 的值的程序框图，其中
判断框内应填入的是
A． B．
C． D．
6．已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个
几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是
A． B．4
C． D．3
8．点A是抛物线 与双曲线 的一条渐近线的交点(异于原
点)，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于
A． B． C． D．
9．已知符号函数 则函数 的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
10．有下列命题：
①在函数 的图象中，相邻两个对称中心的距离为 ；
②函数 的图象关于点 对称；
③“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件；
④已知命题p：对任意的 R，都有 ，则 是：存在 R，使得 ；
⑤在△ABC中，若 ， ，则角C等于 或 ．
其中所有真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．在边长为2的正△ABC中，则 _________．
12．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方法在这70
名学生中抽取一个容量为n的样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽取___人．
13．设x, y满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为___________．
14．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是____．
15．观察下列等式： ， ， ， ，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于 N*， ___________．
16．用 表示非空集合A中的元素个数，定义 ．若 ，
，且 ，则 ___________．
17．在平面直角坐标系 中，直线 是曲线 的切线，则当 时，实数 的最小值
是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分12分）已知函数 R)．
（I）求 的单调递增区间；
（II）在△ABC中，三内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知 ，b, a, c成等差数列，且
，求a的值．
19．（本小题满分12分）正方体 的棱长为l，点F、H分别为为A1D、A1C的中点．
（Ⅰ）证明：A1B∥平面AFC；
（Ⅱ）证明：B1H 平面AFC．
20．（本小题满分13分）已知等比数列{an}的公比 ，前n项和为Sn，S3=7，且 ， ，
成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn， ，其中 N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）设 ， ， ，求集合C中所有元素之和．
21．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的离心率为 ，
过椭圆右焦点 作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时， ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．
22．（本小题满分14分）已知函数 ．
（Ⅰ）判断 的单调性；
（Ⅱ）求函数 的零点的个数；
（Ⅲ）令 ，若函数 在 内有极值，求实数a的取值范围．
2015届高三第一次联考文科数学参考答案
一、选择题
二、填空题
11． 12．8 13．8 14． 15． 16．4 17．
解析如下：
5．由程序知道， 都应该满足条件， 不满足条件，故应该选择B．
6．设 ，因为 所以A，B不成立，对于C，当 时， ，因为
与 同号，所以 ，选项C正确，对于D，取数列：-1，1，-1，1，……，不满足条件，D错．故选C．
7．几何体如图，体积为： ，故选B
8． 点A到抛物线C1的准线的距离为p， 适合 ， ， 故选C.
9． ， 时， ，解得 ；当 时， ；当 时， ，即 无解．故函数 的零点有2个．故选B．
10．对于① ,相邻两个对称中心的距离为 ，①错
对于② 函数 的图象关于点 对称, ②错
对于③ 且 推不出 ，例如 时
推不出 且 ，例如 ，故“ 且 ”是“ ”的既不充分又不必要条件，故③错
对于④：很明显是对的
对于⑤：由 得（两式平方和）：
则 或 而 ，
故 ， ，故 ，故⑤错.故选A
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位
置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
15．由于 ，
则
16．由于 的根可能是2个，3个，4个，而|A-B|=1，故 只有3个根，
故 .
17．设切点为( , ，则 上此点处的切线为 ，故
在 上单调递减，在 上单调递增.
的最小值为 .
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（Ⅰ） …………2分
= …………………………3分
由 Z)得， Z) ……5分
故 的单调递增区间是 Z) ………………………6分
（Ⅱ） ， ，
于是 ，故 …………………………8分
由 成等差数列得： ，
由 得 ， ………………………………10分
由余弦定理得， ，
于是 ， ， ……………………………………13分
19．（Ⅰ）连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，
又F为A1D的中点，所以EF∥A1B，……………3分
又 平面AFC， 平面AFC，
由线面平行的判断定理可得A1B∥平面AFC……5分
（Ⅱ）连B1C，在正方体中A1B1CD为长方形，
∵H为A1C的中点 ，∴H也是B1D的中点，
∴只要证 平面ACF即可 ………………6分
由正方体性质得 ， ，
∴ 平面B1BD，∴ …………………………………………9分
又F为A1D的中点，∴ ，又 ，∴ 平面A1B1D，
∴ ，又AF、AC为平面ACF内的相交直线， …………………11分
∴ 平面ACF。即 平面ACF。 ………………………………12分
21．（Ⅰ）由题意知， ，则 ， ，
所以 ．所以椭圆的方程为 ． ………………4分
（Ⅱ）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知 ； …………………………5分
②当两弦斜率均存在且不为0时，设 ， ，
且设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ．
将直线 的方程代入椭圆方程中，并整理得 ，
所以 ．…………8分
同理， ． …………………………10分
所以
，
当且仅当 时取等号 …………11分
∴
综合①与②可知， …………………………………………13分
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