成都市示范性高中高2012级（高三）12月月考数学试题
文科
一、选择题：本大题每个小题只有一个正确答案，共10小题，每小题5分，共50分.
1、复数 为纯虚数，若 ( 为虚数单位)，则实数 的值为( D )
A． B．2 C． D．
2、在锐角△ 中，角 所对应的边分别为 ，若 ，则角 等于( A )
A. B. C. D.
3、已知等差数列 中， 是方程 的两根，则 （ D）
A． B． C．1007 D．2014
4、若某程序框图如下图所示,则该程序运行后输出的B等于（ A ）
A．63 B．31 C．127 D．15
5、若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，
则m＝( C )
A．21 B．19 C．9 D．－11
6、已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( B )
A.16 B.36 C.13 D.33
7、已知函数 （其中 ），其部分图像如下图所示，将 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到 的图像，则函数 的解析式为（ B ）
A. B.
C. D.
8、已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( C )
A．5 B．29 C．37 D．49
9、设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D.若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于（ B ）
A B C D
10、 是定义在非零实数集上的函数， 为其导函数，且 时， ，记 ，则 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.
11、已知集合 ，集合 为整数集，则 .
12、已知 10
13、已知向量 ，向量 ，则 在 方向上的投影为__2_。
14、已知函数 ，则 _4028_.
15、已知下列五个命题：
①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的 ，其体积缩小到原来的 ；
②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；
③直线 与圆 相切；
④“ ”是“ ”的充分不必要条件.
⑤过M（2,0）的直线l与椭圆 交于P1P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于－
其中真命题的序号是：_135____
三、解答题：大题共6小题，共75分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分）已知函数 ， 三个内角 的对边分别为 .
（I）求 的单调递增区间及对称轴的方程；
（Ⅱ）若 ，求角 的大小.
解：（I）因为
令 解得
所以函数 的单调增区间为 ，
对称轴的方程
(Ⅱ) 因为 所以 ，
又 ，
所以 ，
所以
由正弦定理
把 代入，得到
又 ，所以 ，所以
17、（本小题满分12分）成都海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，
则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.
18、（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）证明：BN⊥平面C1B1N；（2）求点
18.解（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
则
,
,
(2)由等体积法 ,
则
19、(本小题满分12分）已知数列 满足： ， .数列 的前 项和为 ， .
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， .求数列 的前 项和 .
解：（Ⅰ）由 得 ，又 ，
所以 是以1为首项， 为公差的等差数列，则 ， .
当 时，
当 时， ，
，
又 时 ，所以 ， .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ， ，所以 .
所以 ………(1)
等式两边同乘以 得
………(2)
(1)-(2)得
所以 .
20、（本小题满分13分）已知椭圆C: 的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）若直线L： 与椭圆C相交于A、B两点，且
求证： 的面积为定值
解：（Ⅰ）由题意得， ， ，又 ，
联立解得 ， 椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设 ， 则A,B的坐标满足
消去y化简得，
， ， 得
= 。
， ，即
即
= 。O到直线 的距离
=
= = 为定值.
21．（本小题满分14分） 已知函数
（Ⅰ）求函数的定义域，并证明 在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）对于 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，试比较 与 的大小关系．21．解：（Ⅰ）由 ，解得 或 ，
∴ 函数的定义域为
当 时，
∴ 在定义域上是奇函数。
（Ⅱ）由 时， 恒成立，
∴
∴ 在 成立
令 ， ，由二次函数的性质可知
时函数单调递增， 时函数单调递减，
时，
∴
（Ⅲ） =
证法一：构造函数 ，
当 时， ，∴ 在 单调递减，
当 （ ）时，
证法二：构造函数 ,证明: 在 成立,则当 时, 成立.
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