宿迁市2015届高三年级摸底考试
数学试题 2014.11
数 学Ⅰ
总体印象：
本次考试是市2015届第一次市统测，也是摸底考试，试题充分体现了摸底的特点，试卷立足基础，总体平稳，注意知识点的覆盖，注重重点知识测试，突出基本方法，加强思维和计算能力考查，难易适中，区分度、信度较高，题型略有创新。符合江苏省近两年高考试题趋势，顺应潮流。
试题评析：
一、填空题：
第1～5、9、11题难度系数都在0.8以上，属简单题，第6、7、8、10、12题难度系数在0.6～0.8之间，属中档题，第13、14题难度系数在0.4以下，属难题．
1．已知集合 ， ，则 = ▲ ．
2．若复数 为纯虚数， 是虚数单位，则实数 的值是 ▲ ．
3．若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为 ， ，…， ，则抽取的 人中，编号在区间 内的人数是 ▲ ．
4．在如图所示的算法中，输出的 的值是 ▲ ．
5．已知 是等差数列，若 ，则 的值是 ▲ ．
6．若将甲、乙两个球随机放入编号为 ， ， 的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在 ， 号盒子中各有一个球的概率是 ▲ ．
7．在平面直角坐标系 中，若双曲线的渐近线方程是 ，
且经过点 ，则该双曲线的方程是 ▲ ．
8．若 ，则 的值是 ▲ ．
9．若 ， ， 是实数，则 的最大值是 ▲ ．
10．如图，在正三棱柱 中，若各条棱长均为2，且
M为 的中点，则三棱锥 的体积是 ▲ ．
11．设函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则关于 的不等式 的解集是 ▲ ．
12．已知光线通过点 ，被直线 ： 反射，反射光线通过点 ， 则反射光线所在直线的方程是 ▲ ．
13．如图，已知 中， ， ， 是
的中点，若向量 ，且 的终点 在
的内部（不含边界），则 的取值范围是 ▲ ．
14．已知函数 ，若关于x的不等式 的解集为空集，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知 的内角 的对边分别为 ， ．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
16．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，且 ．
（1）求证： ；
（2）若平面 与平面 的交线为 ，求证： ．
17．如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知 为直径，且 km, 为圆心， 为圆周上靠近 的一点， 为圆周上靠近 的一点，且 ∥ ．现在准备从 经过 到 建造一条观光路线，其中 到 是圆弧 ， 到 是线段 .设 ，观光路线总长为 .
（１）求 关于 的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（２）求观光路线总长的最大值.
18．已知函数 （其中 是自然对数的底数）， ， ．
（1）记函数 ，且 ，求 的单调增区间；
（2）若对任意 ， ，均有 成立，求实数 的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 : ,设 是椭圆 上的任一点，从原点 向圆 ： 作两条切线，分别交椭圆于点 ， .
（1）若直线 ， 互相垂直，求圆 的方程；
（2）若直线 ， 的斜率存在，并记为 ， ，求证： ；
（3）试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
20．已知数列 是等差数列，其前n项和为Sn，若 ， ．
（1）求 ；
（2）若数列{Mn}满足条件： ，当 时， － ，其中数列 单调递增，且 ， ．
①试找出一组 ， ，使得 ；
②证明：对于数列 ，一定存在数列 ，使得数列 中的各数均为一个整数的平方．
数学Ⅱ 附加题部分
21 B. 已知二阶矩阵A有特征值 及对应的一个特征向量 和特征值 及对应的一个特征向量 ，试求矩阵A．
21C.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程是 （ 是参数），若以 为极点， 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线 的极坐标方程．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， ， ．
（1）当 时，求异面直线 与 所成角的大小；
（2）当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值．
23．已知数列 的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有 成立，且 ．
（1）求 ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并给出证明．
数学参考答案与评分标准
数学Ⅰ 必做题部分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10．
11． 12． 13． 14．
二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）由余弦定理得， ， …………………………3分
因为 ， ， ，
所以 ，即 …………………………5分
解之得 ， （舍去）．
所以 . ……………………………7分
（2）因为 ， ，
所以 ……………………………9分
……………………………11分
．
所以 ． ……………………………………14分
16．（1）连接AC，交BD于点O，连接PO．
因为四边形ABCD为菱形，所以 ……2分
又因为 ，O为BD的中点，
所以 ……………………………………4分
又因为
所以 ，
又因为
所以 ……………………………………7分
（2）因为四边形ABCD为菱形，所以 …………………………9分
因为 ．
所以 ………………………………………11分
又因为 ，平面 平面 ．
所以 ． ………………………………………………14分
17．(1)由题意知， ， …………………………………2分
， …………………………………5分
因为 为圆周上靠近 的一点， 为圆周上靠近 的一点，且 ，
所以
所以 ， …………………………………………7分
(2)记 ,则 ， ………………………………9分
令 ，得 ， ………………………………………………11分
列表
x (0， )
( ， )
＋ 0 －
f (x) 递增 极大值 递减
所以函数 在 处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分
即 ，
答：观光路线总长的最大值为 千米． ……………………………14分
18．（1）因为 ，
所以 ， ……………………2分
令 ，因为 ，得 或 ， ……………………5分
所以 的单调增区间为 和 ； ……………………6分
（2）因为对任意 且 ，均有 成立，
不妨设 ，根据 在 上单调递增，
所以有 对 恒成立，……………………8分
所以 对 ， 恒成立，
即 对 ， 恒成立，
所以 和 在 都是单调递增函数，………………11分
当 在 上恒成立，
得 在 恒成立，得 在 恒成立，
因为 在 上单调减函数，所以 在 上取得最大值 ，
解得 ． ………………………………13分
当 在 上恒成立，
得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 在 上递减，在 上单调递增，
所以 在 上取得最小值 ，
所以 ， ……………………………15分
所以实数 的取值范围为 ． ………………………16分
19．（1）由圆 的方程知，圆 的半径的半径 ，
因为直线 ， 互相垂直，且和圆 相切，
所以 ，即 ，①………………………………………1分
又点 在椭圆 上，所以 ，②……………………………………2分
联立①②，解得 ……………………………………………………3分
所以所求圆 的方程为 ． ………………………4分
（2）因为直线 ： ， ： ，与圆 相切，
所以 ,化简得 ………………6分
同理 ，……………………………………………7分
所以 是方程 的两个不相等的实数根，
…………………………8分
因为点 在椭圆C上，所以 ，即 ，
所以 ，即 ． ………………………………10分
（3） 是定值，定值为36，……………………………………………11分
理由如下：
法一：(i)当直线 不落在坐标轴上时,设 ,
联立 解得 ………………………………………12分
所以 ，同理，得 ，…………13分
由 ，
所以
………………………………………………………15分
(ii)当直线 落在坐标轴上时,显然有 ，
综上： ． ……………………………………………………16分
法二：(i)当直线 不落在坐标轴上时,设 ,
因为 ，所以 ,即 ， ……………12分
因为 在椭圆C上，所以 ，
即 ， ……………………………………………13分
所以 ，整理得 ，
所以 ，
所以 ． ……………………………………………………15分
(ii)当直线 落在坐标轴上时,显然有 ，
综上： ． ………………………………………………16分
20．（1）设数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ， ，得 ， ……………………2分
解得 ，
所以 ……………………………………………4分
（2）①因为 ，
若 ， ，
因为 ，
所以 ， ，此方程无整数解； ………………6分
若 ， ，
因为 ，
所以 ， ，此方程无整数解；………………8分
若 ， ，
因为 ，
所以 ， ，解得 ，
所以 ， 满足题意…………………………………………………10分
②由①知 ， ， ，则 ， ， ，
一般的取 ， ………………………13分
此时 ， ，
则 ＝ － ＝ ，
所以 为一整数平方．
因此存在数列 ，使得数列 中的各数均为一个整数的平方．……16分
数学Ⅱ部分
21．【选做题】
A．(选修4—1：几何证明选讲)
因为BE切⊙O于点B，所以 ，
因为 ， ，由余弦定理得 ．………4分
又因为 ，所以 ，…………………8分
所以 ． ………………10分
B．（选修4—2：矩阵与变换）
设矩阵 ，这里 ，
因为 是矩阵A的属于 的特征向量，则有 ①， ……4分
又因为 是矩阵A的属于 的特征向量，则有 ② …6分
根据①②，则有 …………………………………………………8分
从而 所以 ． ……………………………10分
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
由 得 两式平方后相加得 ， …………4分
因为曲线 是以 为圆心，半径等于1的圆．得 ．
即曲线 的极坐标方程是 ． …………………………10分
D．（选修4－5：不等式选讲）
因为 ……………………………5分
所以原不等式解集为R等价于 所以
所以实数 的取值范围为 ． ………………………10分
22．建立如图所示的空间直角坐标系 ．
（1）因为AB=AC=1， 3， ，
所以各点的坐标为 , ， ， ．
， ． …………2分
因为 , ，
所以 ．所以向量 和 所成的角为 ，
所以异面直线 与 所成角为 ． ……………4分
（2）因为 ， ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，且 ．
即 ，且 ．令 ，则 ．
所以 是平面 的一个法向量． ………6分
又 ，则 ，
又因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，解得， ． ………………10分
23．（1）因为 ，
当 时，由 ，即有 ，
解得 ．因为 为正整数，故 ． ………………………………2分
当 时，由 ，
解得 ，所以 ． …………………………………………………4分
（2）由 ， ， ，猜想： ………………………………5分
下面用数学归纳法证明．
1º当 ， ， 时，由（1）知 均成立．……………………………6分
2º假设 成立，则 ，
由条件得 ，
所以 ， ………………………………………8分
所以 …………………………9分
因为 ， ， ，
又 ，所以 ．
即 时， 也成立．
由1º，2º知，对任意 ， ． ……………………………………10分
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