无锡市普通高中2015届高三期中基础性检测考试
数 学 试 题
注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
1．已知复数 为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于第 象限．
2．已知全集 ，则 的子集个数为 ．
3．若 是定义在R上的函数，则“ =0”是“函数 为奇函数”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）．
4．某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率 ，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为 ．
5．执行如图所示的程序框图,若输出s的值为11,则输入自然数n的值是 ．
6．直线x=a和函数 的图象公共点的个数为 ．
7．已知向量 是两个不共线的向量，若 与 共线，则 = ．
8．若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为 ．
9．将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位，可得到函数 的图象，则 的最小值为 ．
10．已知函数 在区间（0,1）上有两个零点，则实数a的取值范围为 ．
11．已知函数 则函数 的值域为 ．
12．若点P（x，y）满足约束条件 且点P（x，y）所形成区域的面积为12，则实数a的值为 ．
13．若函数 与函数 的定义域为[0,2]，它们在同一点有相同的最小值，则b+c= ．
14．已知实数y>x>0若以 为三边长能构成一个三角形，则实数 的范围为 ．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．已知 ．
（1）求 的值；
（2）若k为实数，求 的最小值．
16．在正四面体ABCD中，点F在CD上，点E在AD上，且DF∶FC=DE∶EA=2∶3．证明：
（1）EF∥平面ABC；
（2）直线BD⊥直线EF．
17．已知函数
（1）若a>0，求函数 的单调增区间；
（2）若 时，函数 的最大值为3，最小值为 ，求,ab的值．
18．在等差数列{an}中a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，其前n项和为Tn，且b2+S2=11，2S3=9b3。
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项；
（2）问是否存在正整数m，n，r，使得 成立？如果存在，请求出m，n，r的关系式；如果不存在，请说明理由．
19．如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：
方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；
方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．
（1）求方案一中三角形DEF面积1S的最小值；
（2）求方案二中三角形DEF面积2S的最大值．
20．已知函数
（1）求 的单调增区间和最小值；
（2）若函数y= 与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值；
（3）若 时，函数 的图象恰好位于两条平行直线 之间，当 间的距离最小时，求实数m的值．
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