沭阳银河学校2014-2015学年度第一学期12月月考
高三年级数学试卷
（考试时间：150分 试卷满分160分）
一、填空题：（ 共14小题，每小题5分，共70分）
1、已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝
2、若复数 满足： ，则在复平面内，复数z对应的点坐标是
3、阅读下面的流程图，若输入a＝10，b＝6，则输出的结果是 ．
4、某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图1－1所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为
5、盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
6、等差数列 中，其前 项和 ，若 ，
则 的值为 .
7、已知实数 满足 且目标函数 的最大值是 ，则 的最大值为
8、函数 ( 的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，则 =
9、函数 （ ，则“ ”是“函数 为奇函数”
的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）
10、将边长为 的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD= ，则三棱锥D-ABC的体积为__________.
11、过点(2，0)引直线 与曲线 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线 的斜率等于
12、设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为
13、已知 上的可导函数 的导函数 满足： ，且 则不等式 的解是 ．
14、在平面四边形 中，点 分别是边 的中点，且 ， ．若 ，则 的值为 ．
二．解答题（共六大题，90分）
15、(本小题满分14分) 中，角 所对的边分别为
且 ． （I）求角 的大小；
（II）若向量 ，向量 ，且 ， ，
求 的值．
16、（本题满分为14分）已知直三棱柱 的底面 中, , , , 是 的中点，D是AC的中点 ， 是 的中点 ,
(1)证明： 平面 ； （2）试证：
17、（本小题满分14分）已知函数 （ ）.
(I)若 的定义域和值域均是 ，求实数 的值；
(II)若 在区间 上是减函数，且对任意的 ， ，总有 ，求实数 的取值范围.
18、（本题满分为16分）
一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 成正比，与它的厚度 的平方成正比，与它的长度 的平方成反比.
(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为 且翻转前后的比例系数相同，都为同一正常数 ）
(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为 ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为 为多少时，可使安全负荷 最大？
19、（本题满分为16分）椭圆 的左、右焦点分别是 ，离心率为32，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为
(1)求椭圆C的方程；
(2)点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，过点 作斜率为k的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个公共点，设直线 的斜率分别为 ，若 ，
试证明: 为定值，并求出这个定值．
20、（本小题满分16分）已知 ，
（Ⅰ）对一切 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）当 时，求函数 在 上的最值；
（Ⅲ）证明：对一切 ，都有 成立。
高三数学12月月考试卷参考答案
一．填空题
1、 {－1，0} 2.(4，－2) 3. 2 4. 480 5. 35 6. 3 7. 8. 3
9. 充要 10. 11.－ 33 12. 13. 14. 13.5
二．解答题
15．解：（I）∵
∴ ， ……………2分
∴ ，∴ 或 ……………5分
∴ ……………7分
（II）∵ ∴ ，即 ………………8分
又 ，∴ ，即 ② ………10分
由①②可得 ，∴ ………………………………13分
又 ∴ ，∴ …………14分
16.证明：(1)连 , 为 中点， 为 中点， ,…………2分
又 平面 , 平面 , 平面 ………………6分
(2) 直三棱柱 平面
平面 , ……………………7分
又 , 平面 平面 , 平面 …………………………………………… 9分
在 与 中，
∽
………12分
平面 平面 ，
平面 …………………14分
17.解：(I) ∵ （ ）,
∴ 在 上是减函数，……………2分
又定义域和值域均为 ，∴ ，……………4分
即 ， 解得 .……………6分
(II) ∵ 在区间 上是减函数，∴ ，……………8分
又 ，且，
∴ ， .……………11分
∵对任意的 ， ，总有 ，
∴ ， ……………13分
即 ，解得 ，
又 ， ∴ . ……………14分
18.
解：（Ⅰ）安全负荷 为正常数）翻转 ，…2分
，
当 时， 安全负荷变大. …………4分
当 ，安全负荷变小；…………6分
当 时， 安全负荷不 变. ……………7分
（II）如图，设截取的宽为 ，厚度为 ，则 .
= （ …9分
令 得：
当 时 函数 在 上为增函数；
当 时 函数 在 上为减函数；
当 时，安全负荷 最大。…………14分，此时厚度 …………15分
答：当问截取枕木的厚度为 时，可使安全负荷最大。…16分
（说明： 范围不写 扣1分）
19、解：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，
得y＝±b2a.由题意知 2b2a＝1，即a＝2b2. ……………2分
又e＝ca＝32， ………… …4分
所以a＝2，b＝1. ……………5分
所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1. ……………6分
(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．
联立x24＋y2＝1，y－y0＝k（x－x0）， ………………8分
整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y20－2kx0y0＋k2x20－1)＝0.
由题意Δ＝0，
即(4－x20)k2＋2x0y0k＋1－y20＝0. ………………10分
又x204＋y20＝1，
所以16y20k2＋8x0y0k＋x20＝0，
故k＝－x04y0. ……………12分
由(2)知1k1＋1k2＝x0＋3y0＋x0－3y0＝2x0y0， ……………15分
所以1kk1＋1kk2＝1k1k1＋1k2＝－4y0x0•2x0y0＝－8，
因此1kk1＋1kk2为定值，这个定值为－8. ……………16分
20.
解：（Ⅰ）对一切 恒成立，即 恒成立.也就是 在 恒成立.………2分
令 ，
则 ，……3分
在 上 ，在 上 ，因此， 在 处取极小值，也是最小值，即 ，所以 .……5分
（Ⅱ）当 ，
，由 得 . ………6分
①当 时，在 上 ，在 上
因此， 在 处取得极小值，也是最小值. .
由于
因此， ………8分
②当 ， ，因此 上单调递增，所以 ， …10分
（Ⅲ）证明：问题等价于证明 ,………12分
由(Ⅱ)知 时， 的最小值是 ，当且仅当 时取得，..14分
设 ，则 ，易知
，当且仅当 时取到，
但 从而可知对一切 ，都有 成立.…16分
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