1.已知复数z= (i为虚数单位),则复数z为( )
A. B. C. D.
2.已知 , ,则A B为( )
A.(0, ) B.(0, )
C.(-1, ) D.(-1, )
3.若等比数列 的前 项和为 ,且 , ,则 ( )
A.16 B.16或-16 C.-54 D.16或-54
4. 已知命题 ,命题 ,则( )
A.命题 是假命题 B.命题 是真命题
C.命题 是真命题 D.命题 是假命题
5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的 的值是
A.2 B. C. D. 3
6.阅读程序框图,若输入 ,则输出 分别是( )
A. B. C. D.
7.若将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到的图象关于原点对称,则 ( )
A. B. C. D.
8.在△ABC中,AD为BC边上的高,给出下列结论:
① ;② ; ③ 。
以上结论正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9. 已知数列 中满足 , ,则 的最小值为( )
A. 7 B. C.9 D.
10.若函数 在区间 上的值域为 ,则 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
11.如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点,则下列结论错误的是( )
A. B.平面 平面
C. 的最大值为 D. 的最小值为
12.已知圆 和圆 ,动圆 与圆 和圆 都相切,动圆圆心 的轨迹为两个椭圆,设这两个椭圆的离心率分别为 和 ( ),则 的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.记直线 的倾斜角为 ,曲线 在 处切线的倾斜角为 ,则
。
14..设关于x,y的不等式组 表示的平面区域内存在点 满足 的取值范围是_________。
15.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 为双曲线 右支上一点,且 在以线段 为直径的圆的圆周上,则双曲线 的离心率为 。
16.已知 ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且 ,BC=1,AC=3,三棱锥O- ABC的体积为 ,则球O的表面积为__________。
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题10分)
设 的内角 的对边分别为 ,满足 .
(Ⅰ)求角 的大小;
(Ⅱ)若 , ,求 的面积.
18.(本小题12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的最小正周期和单调增区间;
(Ⅱ)若 的一个零点,求 的值.
19.(本小题12分)
设等差数列 的前 项和为 , , 。
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 的前 项和为 ,且 , ,求数列 的前 项和为 。
20. (本小题12分)
如图,在四棱锥 中, 底面ABCD,底面ABCD是直角梯形, , ,
,E是PB的中点。
(Ⅰ)求证:平面 平面PBC;
(Ⅱ)若二面角 的余弦值为 ,
求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。
21.(本小题12分)
过椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点,F1为其左焦点,已知△AF1B的周长为8,椭圆的离心率为32.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P,Q,且OP→⊥OQ→?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
22.(本小题12分)
已知函数 .
(Ⅰ)若 =0,判断函数 的单调性;
(Ⅱ)若 时, <0恒成立,求 的取值范围.
高三理科答案
1-5 BADCD 6-10 AADDD 11-12 CA
第11、12题解析:
13. 14. 15. 16.
(Ⅱ)由正弦定理可知 ,又 , , ,
所以 .
又 ,所以该三角形由两个解,故 或 . ………7分
若 ,则 ,于是 ; ………………………… 9分
若 ,则 ,于是 . ………………………… 10分
(Ⅱ)因为 ,
所以 。
因为 ,所以 ,
所以 。...............................................................................................10分
。...................................................................................................................12分
19.解析:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,则
,
解得 , 。
所以 。......................................................................................................5分
20.解析:(Ⅰ)证明: 平面ABCD, 平面ABCD, ,
, ,
,
又 , 平面PBC,
∵ 平面EAC, 平面 平面PBC ……………6分
(Ⅱ)以C为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0)。
设P(0,0,a)(a>0),则E( , , ),
, , ,
取 =(1,-1,0)……………8分
则 , 为面PAC的法向量。
设 为面EAC的法向量,则 ,
即 ,取 , , ,
则 ,
依题意, ,则 。
于是
设直线PA与平面EAC所成角为 ,则 ,
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 。……………12分
21.解析:(Ⅰ)由已知得4a=8,ca=32,解得a=2,c=3,(2分)
∴b2=a2-c2=1,故椭圆C的方程为x24+y2=1. (4分)
(Ⅱ)假设满足条件的圆存在,其方程为x2+y2=r2(0<r<1).
当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+t,
由y=kx+t,x24+y2=1消去y整理得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2.① (6分)
∵OP→⊥OQ→,∴x1x2+y1y2=0.又y1=kx1+t,y2=kx2+t,
∴x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,即(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0.②
将①代入②得1+k24t2-41+4k2-8k2t21+4k2+t2=0,
即t2=45(1+k2). (8分)
∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切,∴r=|t|1+k2=451+k21+k2=255∈(0,1),
∴存在圆x2+y2=45满足条件. (10分)
当直线PQ的斜率不存在时,也适合x2+y2=45.
综上所述,存在圆心在原点的圆x2+y2=45满足条件. (12分)
22.解析:(Ⅰ)若 , ,
为减函数, 为增函数.…………4分
(Ⅱ) 在 恒成立.
(1)若 , , ,
为增函数.
,
即 不成立;
不成立.……………………6分
(2) , 在 恒成立,
不妨设 ,
, ………………8分
,
若 ,则 ,
, , 为增函数, (不合题意);
若 ,
, , 为增函数, (不合题意);
若 , , , 为减函数, (符合题意).11分
综上所述若 时, 恒成立,则 .………………12分
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